b1=(12),b2=(01) sind eine Basis von R2, da linear unabhängig.
Sei v∈R2 beliebig, dann existieren eindeutige s,t∈R, so dass v=s⋅b1+t⋅b2.
https://mathepedia.de/Eindeutigkeit_der_Basisdarstellung.html
f(v)=f(s⋅b1+t⋅b2)=s⋅f(b1)+t⋅f(b2)
Du kennst f(b1),f(b2), deswegen kennst du für jedes beliebig v∈R2 im Definitionsbereich das Bild :)
Die Funktion ist also vollständig definiert.
Du willst die Darstellungmatirx bezüglich der Standardbasis (e1,e2) angeben:
e1=(10)=1⋅b1−2⋅b2
e2=(10)=b2
f(e1)=f(1⋅b1−2⋅b2)=1⋅f(b1)−2⋅f(b2)=(−1−3)=(−1)⋅e1+(−3)⋅e2
f(e2)=1⋅f(b2)=...
Ich erhalte (−1−321)
Ergebnis bekommst du auch mit Transformationsmatritzen.
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Basiswech…
b)
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Abbildung…
Du hast die transponierte Darstellungsmatrix angegeben, eigentlich für Standardbasis:
⎝⎛10−2−1−62112−2⎠⎞
Nutze den hier zum besseren formatieren:
https://www.matheretter.de/rechner/latex
Habe es zeitlich schnell eingeschoben, müsste aber Sinn ergeben:
Bezüglich Basis B.
b1 : =⎝⎛−101⎠⎞,b2 : =⎝⎛−121⎠⎞,b3 : =⎝⎛10−2⎠⎞
f(b1)=⎝⎛0120⎠⎞=(−6)⋅b1+6⋅b2+0⋅b3⇒⎝⎛−660..................⎠⎞ usw