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Aufgabe:

(a) Eine lineare Abbildung f : R2R2 f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} ist durch
f((12))=(31) und f((01))=(21) f\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \end{array}\right) \text { und } f\left(\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right)
vollständig festgelegt. Begründen Sie, warum.
Ermitteln Sie die Darstellungsmatrix von f f bezüglich der Standardbasis von R2 \mathbb{R}^{2} .
(b) Gegeben ist folgende lineare Abbildung f f :
f : R3R3 : (x1x2x3)(x1x2+x36x2+12x32x1+2x22x3) f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}: \quad\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} x_{1}-x_{2}+x_{3} \\ -6 x_{2}+12 x_{3} \\ -2 x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3} \end{array}\right)
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von f f bezüglich der Standardbasis des R3 \mathbb{R}^{3} , sowie die Darstellungsmatrix ABB(f) A_{B B}(f) von f f bezüglich der Basis B=((101),(121),(102)) B=\left(\left(\begin{array}{r}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)\right) .


Problem/Ansatz:

a) Bei Aufgabe steh ich auf den Schluch mit der brgündung und bei der anderen Teilaufgabe ist meine lösung [5,1], [2,1]

b) Die Darstellungsmatrix A von f bezüglich der Standardbasis des R3 wurde wie folgt berechnet:

A = [f(1, 0, 0) | f(0, 1, 0) | f(0, 0, 1)]
= [1 | 0 | -2]
| [-1 | -6 | 2]
| [1 | 12 | -2]

Die Darstellungsmatrix ABB(f) von f bezüglich der Basis B wurde wie folgt berechnet:

ABB(f) = [f(-1, 0, 1) | f(-1, 2, 1) | f(1, 0, -2)]
= [-2 | 2 | 2]
| [1 | -4 | 0]
| [-1 | 8 | 4]


Für b ist das meine Lösung.


Es wäre sehr hilfreich, wenn jemand schaut ob ich richtig gererchnet habe und wenn nicht ob ihr mir dann eure richtige Lösung schreiben könntet

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Aloha :)

zu a) Du weißt wie die Funktion ff auf zwei Vektoren wirkt. Daher weißt du auch, wie die zugehörige Abbildungsmatrix FF auf zwei Vektoren wirkt:F(12)=(31);F(01)=(21)F\binom{1}{2}=\binom{3}{-1}\quad;\quad F\binom{0}{1}=\binom{2}{1}Das kannst du zu einer Matrix-Gleichung zusammenfassen, aus der dann FF folgt:F(1021)=(3211)    F=(3211)(1021)1=(1231)F\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\2 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}3 & 2\\-1 & 1\end{array}\right)\implies F=\left(\begin{array}{rr}3 & 2\\-1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\2 & 1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rr}-1 & 2\\-3 & 1\end{array}\right)Die inverse Matrix existiert und ist eindeutig bestimmt, daher ist auch die Abbildungsmatrix FF eindeutig festgelegt.

zu b) Die Abbildungsmatrix EAE{_E}A_{E} bezüglich der Standardbasis EE kannst du sofort hinschreiben:(x1x2+x36x2+12x32x1+2x22x3)=x1(102)+x2(162)+x3(1122)=(1110612222)=EAE(x1x2x3)\small\begin{pmatrix}x_1-x_2+x_3\\-6x_2+12x_3\\-2x_1+2x_2-2x_3\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}-1\\-6\\2\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}1\\12\\-2\end{pmatrix}=\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1\\0 & -6 & 12\\-2 & 2 & -2\end{array}\right)}_{={_E}A_E}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}Das ist fast dein Ergebnis, du hast nur die Zeilen und die Spalten vertauscht.

Die Koordinaten der Vektoren der Basis BB sind bezüglich der Standardbasis EE angegeben. Daher kennst du die Übergangsmatrix von BB nach EE:EidB=(111020112){_E}\mathrm{id}_{B}=\left(\begin{array}{rrr}-1 & -1 & 1\\0 & 2 & 0\\1 & 1 & -2\end{array}\right)Damit können wir die Abbidlungsmatrix EAE{_E}A_E bezüglich der Basis BB hinschreiben:BAB=BidEEAEEidB=(EidB)1EAEEidB=(60126012021){_B}A_B={_B}\mathrm{id}_E\cdot{_E}A_E\cdot{_E}\mathrm{id}_B=\left({_E}\mathrm{id}_B\right)^{-1}\cdot{_E}A_E\cdot{_E}\mathrm{id}_B=\left(\begin{array}{rrr}-6 & 0 & 12\\6 & 0 & -12\\0 & -2 & -1\end{array}\right)Du hast die Bilder der Basisvektoren eingesetzt. Dadurch erhältst du die Bilder der Basisvektoren bezüglich der Standardbasis EE. Du musst die Ergebnisse noch in die Basis BB überführen. Allerdings ist auch dein "Zwischenergebnis" falsch, da du ja bei BB die Zeilen und die Spalten vertauscht hast.

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b1=(12),b2=(01) b_1=\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix},b_2=\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} sind eine Basis von R2 \mathbb{R}^{2} , da linear unabhängig.

Sei vR2v\in \mathbb{R}^{2} beliebig, dann existieren eindeutige s,tRs,t\in\mathbb{R} , so dass v=sb1+tb2v=s\cdot b_1+t\cdot b_2 .
https://mathepedia.de/Eindeutigkeit_der_Basisdarstellung.html

f(v)=f(sb1+tb2)=sf(b1)+tf(b2)f(v)=f(s\cdot b_1+t\cdot b_2)=s\cdot f(b_1)+t\cdot f(b_2)

Du kennst f(b1),f(b2) f(b_1), f(b_2) , deswegen kennst du für jedes beliebig vR2v\in \mathbb{R}^{2} im Definitionsbereich das Bild :)

Die Funktion ist also vollständig definiert.

Du willst die Darstellungmatirx bezüglich der Standardbasis (e1,e2)(e_1,e_2) angeben:

e1=(10)=1b12b2e_1 =\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}=1\cdot b_1-2\cdot b_2

e2=(10)=b2e_2=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}=b_2

f(e1)=f(1b12b2)=1f(b1)2f(b2)=(13)=(1)e1+(3)e2f(e_1)=f(1\cdot b_1-2\cdot b_2)=1\cdot f(b_1)-2\cdot f(b_2)=\begin{pmatrix} -1\\-3 \end{pmatrix}=(-1)\cdot e_1+(-3)\cdot e_2

f(e2)=1f(b2)=...f(e_2)=1\cdot f(b_2)=...

Ich erhalte (1231) \begin{pmatrix} -1& 2 \\ -3& 1 \end{pmatrix}

Ergebnis bekommst du auch mit Transformationsmatritzen.

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Basiswech…

b)

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Abbildung…

Du hast die transponierte Darstellungsmatrix angegeben, eigentlich für Standardbasis:

(1110612222) \begin{pmatrix} 1& -1&1\\ 0&-6 &12\\ -2& 2&-2 \end{pmatrix}

Nutze den hier zum besseren formatieren:

https://www.matheretter.de/rechner/latex

Habe es zeitlich schnell eingeschoben, müsste aber Sinn ergeben:

Bezüglich Basis BB.

b1 : =(101),b2 : =(121),b3 : =(102) b_1:=\begin{pmatrix} -1\\ 0\\1 \end{pmatrix},b_2:=\begin{pmatrix} -1\\ 2\\1 \end{pmatrix},b_3:=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\-2 \end{pmatrix}

f(b1)=(0120)=(6)b1+6b2+0b3(6......6......0......) f(b_1)=\begin{pmatrix} 0\\ 12\\0 \end{pmatrix}=(-6)\cdot b_1+6\cdot b_2+0\cdot b_3\Rightarrow \begin{pmatrix} -6 &...&... \\ 6 & ...&...\\ 0 & ...&...\end{pmatrix} usw

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