Berechnen der Eigenvektoren mit komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

ich soll die Eigenwerte/Eigenvektoren der folgenden Matrix bestimmen:

Problem/Ansatz:

Die Eigenwerte sollten i und -i sein, sofern ich keinen Fehler gemacht habe.

Leider bin ich etwas überfordert wie man mit den komplexen Zahlen auf die Eigenvektoren kommt.

Ich hoffe jemand kann mir helfen, vielen Dank!

Answer 1

Zum Rechnen

A:= {{0,-1},{1,0}}

https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

Die EW sind korekt, einsetzen: 1. Zeile += 2. Zeile * ±i

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}λ=&i&\left(\begin{array}{rr}-i&-1\\1&-i\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = 0\\λ=&-i&\left(\begin{array}{rr}i&-1\\1&i\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

zusamenfassen

\(\small \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}i \; x2&-i \; x2\\x2&x2\\\end{array}\right)\)