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Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Eigenvektoren von A


Problem/Ansatz:

A= 3    2   -1

   -1   0    1

    1   1    0

Ich habe bereits die "Lamda Matrix" abgezogen und vereinfacht. Daraus erhielt ich: (x ist in dem Fall Lamda)

-x^3+3x^2-2x

Dannach habe ich mit ausprobieren eine Nullstelle bei 1 heraus gefunden

Nun habe ich von dem Therm 1-x abgezogen und erhielt:

(×-1)*(-x^2+2x-1)

Damit also mit der hinteren Klammer habe ich die Mitternachtsformel angewendet um x2 und x3 zu bekommen

X2 und x3 waren ebenfalls 1

Nun habe ich die Matrix - die lamda Matrix 1 mal einen vektor gerechnet

Also:

3-1    2    -1        v1

-1     -1     1   *   v2   =0

 1      1     -1        v3


Mein Problem ist jetzt das dort kein Ergebnis rauskommt und ich auch nicht weiß ob überhaupt alles richtig ist. Also ob meine Rechnungen davor vielleicht schon falsch waren.

von

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Aloha ;)

Wir bestimmen zuerst die Eigenwerte:

$$\left|\begin{array}{rrr}3-\lambda & 2 & -1\\-1 & -\lambda & 1\\1 & 1 & -\lambda\end{array}\right|\stackrel{(1)}{=}\left|\begin{array}{rrr}3-\lambda & 2 & -1\\0 & 1-\lambda & 1-\lambda\\1 & 1 & -\lambda\end{array}\right|\stackrel{(2)}=(1-\lambda)\left|\begin{array}{rrr}3-\lambda & 2 & -1\\0 & 1 & 1\\1 & 1 & -\lambda\end{array}\right|$$$$=(1-\lambda)\left[(3-\lambda)(-\lambda-1)+(2+1)\right]=(1-\lambda)(\lambda^2-2\lambda)=(1-\lambda)\lambda(\lambda-2)$$Die Nullstellen sind die Eigenwerte:$$\lambda_1=0\quad;\quad\lambda_2=1\quad;\quad\lambda_3=2$$[Zur Berechnung: In (1) habe ich die dritte Zeile zu der zweiten Zeile addiert. In (2) habe ich den Faktor \((1-\lambda)\) aus der zweiten Zeile vor die Determinante gezogen. Anschließend habe ich die Determinante nach der ersten Spalte entwickelt.]

Um nun die Eigenvektoren zu bestimmen, müssen wir die Eigenwerte der Reihe nach in die Matrix, die wir in der Determinate stehen haben, einsetzen und deren Kern bestimmen.

1) Eigenvektor zu \(\lambda_1=0\)

$$\begin{array}{rrr|l}x_1 & x_2 & x_3 & \text{Aktion}\\\hline 3 & 2 & -1 & -3\cdot\text{Zeile 3}\\ -1 & 0 & 1 & +\text{Zeile 3}\\1 & 1 & 0\\\hline0 & -1 & -1 & +\text{Zeile 2}\\0 & 1 & 1 & \\1 & 1 & 0\\\hline0 & 0 & 0 &\\0 & 1 & 1 & \\1 & 1 & 0\\\hline\hline\end{array}$$Wir erhalten also zwei Gleichungen:$$x_2+x_3=0\quad;\quad x_1+x_2=0\quad\Longleftrightarrow\quad x_3=-x_2\quad;\quad x_1=-x_2$$Die Eigenvektoren sind daher:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_2\\x_2\\-x_2\end{pmatrix}=-x_2\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\implies\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$$

2) Eigenvektor zu \(\lambda_2=1\)

$$\begin{array}{rrr|l}x_1 & x_2 & x_3 & \text{Aktion}\\\hline 2 & 2 & -1 & -2\cdot\text{Zeile 3}\\ -1 & -1 & 1 & +\text{Zeile 3}\\1 & 1 & -1\\\hline0 & 0 & 1 &\\0 & 0 & 0 & \\1 & 1 & -1 & +\text{Zeile 1}\\\hline0 & 0 & 1 &\\0 & 0 & 0 & \\1 & 1 & 0 &\\\hline\hline\end{array}$$Wir erhalten also zwei Gleichungen:$$x_3=0\quad;\quad x_1+x_2=0\quad\Longleftrightarrow\quad x_3=0\quad;\quad x_1=-x_2$$Die Eigenvektoren sind daher:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_2\\x_2\\0\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\implies\vec v_2=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$$

3) Eigenvektor zu \(\lambda_3=2\)

$$\begin{array}{rrr|l}x_1 & x_2 & x_3 & \text{Aktion}\\\hline 1 & 2 & -1 & -\text{Zeile 3}\\ -1 & -2 & 1 & +\text{Zeile 3}\\1 & 1 & -2\\\hline0 & 1 & 1 & \\0 & -1 & -1 & +\text{Zeile 1}\\1 & 1 & -2 & -\text{Zeile 1}\\\hline0 & 1 & 1 &\\0 & 0 & 0 & \\1 & 0 & -3 &\\\hline\hline\end{array}$$Wir erhalten also zwei Gleichungen:$$x_2+x_3=0\quad;\quad x_1-3x_3=0\quad\Longleftrightarrow\quad x_2=-x_3\quad;\quad x_1=3x_3$$Die Eigenvektoren sind daher:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x_3\\-x_3\\x_3\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}\implies\vec v_3=\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}$$

von 57 k 🚀

Schau mal bitte, ich habe die Rechnung für die beiden anderen Eigenvektoren noch ergänzt. Ich denke, wenn man sich das selbst beibringen muss, hilft eine vorgegebene Lösung beim Verstehen.

Danke für deine Antwort. Wäre nett ,wenn das einmal für die anderen beiden machen würdest

Schon passiert... ;)

Ja hab ich gesehen :)) Dankeschön <3

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Nun habe ich von dem Therm 1-x abgezogen und erhielt:

(×-1)*(-x2+2x-1)

Du musst doch dividieren (hast du wohl auch) aber

das gibt

(x-1)*(-x^2 + 2x )

Also alle Eigenwerte 0 , 1   und 2.

von 214 k 🚀

Wie bist du auf die restlichen Eigenwerte gekommen?

(x-1)*(-x2 + 2x ) = 0

<=> (x-1)*x*(-x + 2 ) = 0

<=>  x-1=0   oder x = 0    oder  -x+2 = 0

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Ungeschickte Verfahrensweise.

Erzeuge Digonalmatrix: E(z,s,a) = Zeile z = z+a Zeile s

E(1,2,1) E(2,3,1) E(1,3,(l-3)) (A - l E)

\(\small \left(\begin{array}{rrr}0&0&-\ell^{2} + 2 \; \ell\\0&-\ell + 1&-\ell + 1\\1&1&-\ell\\\end{array}\right) \)

|A - l E|=Produkt der Diagonalen

===> l=1, l=0, l=2

von 11 k

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