Aloha :)
Schreibe dir neben die zu invertierende Matrix eine gleich große Einheitsmatrix:$$\begin{array}{rr|rr}2 & 3 & 1 & 0\\-3 & 2 & 0 & 1\end{array}$$Nun formst du die linke Matrix mit Gauß-Operationen zu einer Einheitsmatrix um und führst die dazu nötigen Schritte auch an der rechten Matrix durch:$$\begin{array}{rr|rr|l}2 & 3 & 1 & 0 & \\-3 & 2 & 0 & 1 & +\text{Zeile 1}\\\hline2 & 3 & 1 & 0 & +2\cdot\text{Zeile 2}\\-1 & 5 & 1 & 1 & \cdot(-1)\\\hline0 & 13 & 3 & 2 & \text{vertausche mit Zeile 2}\\1 & -5 & -1 & -1 & \text{vertausche mit Zeile 1}\\\hline1 & -5 & -1 & -1 & \\0 & 13 & 3 & 2 &\div13\\\hline1 & -5 & -1 & -1 & +5\cdot\text{Zeile 2}\\0 & 1 & \frac{3}{13} & \frac{2}{13}\\\hline1 & 0 & \frac{2}{13} & -\frac{3}{13}\\[0.5ex]0 & 1 & \frac{3}{13} & \frac{2}{13}\end{array}$$Die gesuchte inverse Matrix steht nun auf der rechten Seite:$$A^{-1}=\left(\begin{array}{rr}\frac{2}{13} & -\frac{3}{13}\\[1ex]\frac{3}{13} & \frac{2}{13}\end{array}\right)=\frac{1}{13}\left(\begin{array}{rr}2 & -3\\3 & 2\end{array}\right)$$
Die Inverse einer \(2\times2\)-Matrix kommt in Übungen und Klausuren sehr oft vor.
Daher kannst du dir auch folgende Formel merken:$$\left(\begin{array}{rr}a & b\\c & d\end{array}\right)^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{rr}d & -b\\-c & a\end{array}\right)$$Das heißt in Worten:
(1) Die Elemente auf der Hauptdiagonalen werden getauscht.
(2) Die Elemente auf der Nebendiagonalen wechseln ihr Vozeichen.
(3) Der Vorfaktor ist der Kehrwert der Determinante.
