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Aufgabe:

Ich habe zwei Preisabsatzfunktionen:

pc(xc) = 1000-0,0125*xc

pd(xd) = 800-0,02*xd

und noch die dazugehörige Kostenfunktion:

K(xg) = 10000 + 0,05*x2g

g steht für die gesamte Produktionsmenge und das Unternehmen möchte den Gewinn mit seinen beiden Produkten D und C maximieren.

Ich soll nun ein Optimierungsproblem aufstellen, das wäre in diesem Fall ja die Gewinnfunktion G(xg) = E(xg) - K(xg). Muss ich nun aus pc und pd eine Preisabsatzfunktion aufstellen oder würde ich jetzt xg in der Kostenfunktion zu xc + xd umformen oder wie schaffe ich es die Zielfunktion und die Nebenbedingungen aufzustellen?

Vielen Dank, ich stehe auf dem Schlauch

LG

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G(xc, xd) = E(xc) + E(xd) - K(xg)

= xc * (1000 - 0,0125 * xc) + xd * (800 - 0,02*xd) - (10000 + 0,05*(xc+xd)^2)

Avatar von 43 k

Wie würde ich jetzt hieraus mittels des Lagrange-Ansatzes einen kritischen Punkt errechnen? Hierfür fehlt mir ja die Nebenbedingung.

Ja, es gibt keine Nebenbedingung (abgesehen von den üblichen Nichtnegativitätsbedingungen). Die Gewinnfunktion kannst Du DIr als Hut vorstellen, der auf einem Tisch liegt. Die x-y-Ebene ist die Tischplatte. Du suchst die Spitze des Hutes... unten abgebildet, die zweite Abbildung sind seine Höhenlinien.


blob.png

Hey döschwo,

vielen Dank für deine erneute Antwort. Kann man denn einen Lagrange-Ansatz aufstellen ohne eine Nebenbedingung?

Das ist hier kein Thema.

Wikipedia-Artikel dazu, erster Satz: "Das Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren (nach Joseph-Louis Lagrange) ist in der mathematischen Optimierung eine Methode zur Lösung von Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen."

Hi zusammen,

sitze an der gleichen Aufgabe. Da der kritische Punkt gemäß Aufgabenstellung explizit mittels Lagrange ermittelt werden soll, wäre die Frage, ob man dazu die Nichtnegativitätsbedingung als Nebenbedingung nutzen kann? g(xC, xD) ≥ 0 und dementsprechend xC + xD - c = 0? Oder habe ich mich da jetzt komplett verrannt?

Oder habe ich mich da jetzt komplett verrannt?

Wahrscheinlich.

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E(x) = p_d(x)*x

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Und was ist mit der Kostenfunktion, die gehört doch zur Gewinnmaximierung mit dazu, oder nicht?

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Wenn man keine Nebenbedingungen hat ist es doch noch viel einfacher. Bilde den Gradienten und die Hessematrix und untersuche die Funktion damit auf Extrema.

Kontrolliere dann z.B. mit Wolframalpha

https://www.wolframalpha.com/input?i=max+x*%281000-0.0125*x%29%2By*%28800-0.02y%29-%2810000%2B0.05%28x%2By%29%5E2%29

Offensichtlich langt es sich auf Produkt C zu konzentrieren und die Produktion von Produkt D einzustellen.

Avatar von 477 k 🚀
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Wie sieht dann der Lagrange-Ansatz aus?

LG

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Siehe dazu die Hinweise andernorts auf dieser Seite: Lagrange ist für wenn mit Nebenbedingungen. Hier gibt es keine Nebenbedingungen.

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