S linear abhängig dann und nur dann, wenn f(S) linear abhängig

Question

Aufgabe:

Es sei f: V→W ein Isomorphismus zwischen zwei Vektorräumen V und W über IK und S⊂V.

Beweisen sie: S linear abhängig ⇔ f(S) linear abhängig

Problem/Ansatz:

"⇒" $$f(\sum \limits_{i=1}^{n} λ_is_i) = \sum \limits_{i=1}^{n} λ_if(s_i)$$ mit s∈S, λ∈IK

Da S linear abhängig ist wissen wir, dass mindestens ein λ≠0 und somit ist auch f(S) linear abhängig.

Stimmt das so?

Bei der Rückrichtung komme ich nicht weiter...

Answer 1

In dem Ansatz fehlt irgendwie der 0-Vektor.

Außerdem war dim(V)=n gegeben ???

Eher so:

S linear abhängig bedeutet:

Seien λ_s ∈ K mit  \(\sum \limits_{s \in S }λ_s\cdot s = 0\)==>    Es gibt ein s∈S mit λ_s ≠ 0

Um zu prüfen, ob f(S) linear abhängig ist:

Seien λ_z ∈ K mit \(\sum \limits_{z \in f(S) }λ_z \cdot z = 0\)

Da f bijektiv ist, gibt es zu jedem z∈f(S) genau ein s∈S mit f(s)=z.

und die Summe über alle z∈f(S) ist die gleiche wie die über alle s∈S.

==>   \(\sum \limits_{s \in S }λ_s \cdot f(s)  = 0 \) ==>    \(\sum \limits_{s \in S }f(λ_s \cdot s)  = 0 \)

Und nur f(0) ist gleich 0, also   \(\sum \limits_{s \in S } λ_s \cdot s = 0 \)

Und weil S linear abhängig ist, ist also ein λ_s und damit ein λ_z ungleich 0.

Somit f(S) linear abhängig.

Die andere Richtung ähnlich.

Answer 2

Du könntest auch die äquivalente Aussage beweisen:

S ist linear unabhängig \(\Leftrightarrow f(S)\) ist linear unabhängig.

Das geht recht einfach:

\(\Rightarrow\)

Sei S linear unabhängig. Betrachte nun

\(\sum_{i=1}^n \lambda_i f(s_i) = 0 \Rightarrow f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i s_i\right)=0 \)

\(\stackrel{f\: Isomorphismus}{\Rightarrow} \sum_{i=1}^n \lambda_i s_i =0 \Rightarrow \lambda_i= 0 \:(i=1,\ldots ,n)\)

\(\Leftarrow\)

Sei f(S) linear unabhängig. Betrachte nun

\(\sum_{i=1}^n \lambda_i s_i =0 \Rightarrow f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i s_i\right)= \sum_{i=1}^n \lambda_i f(s_i)=0 \)

\(\Rightarrow \lambda_i= 0 \:(i=1,\ldots ,n)\)