Grenzwert berechnen mit Rechenweg

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x^{4}-2 x}{\ln (x)\left(x^{3}-2 x\right)} \)

Answer 1

Mit $$ f(x) = \frac{ x^4 -2x } {\ln(x) ( x^3  - 2x) } $$ gilt.

Der Term \( \frac{x^4-2x}{x^3-2x} \to 1 \)

Deswegen hängt der Grenzwert nur noch von \( \ln(x) \) ab.

Für \( x \to 1^- \) ist der \( \ln(x) \) negativ und für \( x \to 1^+ \) positiv.

Deswegen gilt $$ \lim_{x \to 1^- } f(x) = -\infty $$

Answer 2

(1.) Man kann einen Faktor x rauskürzen

(2.) Der vorkommende Logarithmus  ln(x) kann für die Umgebung von x=1 durch den linearen Term x-1  ersetzt werden.

(3.) Dann bleibt der Grenzwert der rationalen Funktion  \( \frac{x^3-2}{x^3-x^2-2x+2} \)  zu bestimmen.

(4.) Zähler gegen -1 , Nenner gegen 0 , also uneigentlicher Grenzwert (+∞ oder -∞).

(5.) Bleibt noch das Vorzeichen zu ermitteln , was ich dir überlasse.