Wie kommt man auf diese Darstellung für den Erwartungswert bei nicht negativen Zufallsvariablen

Question

Aufgabe:

Wie kommt man auf diese Darstellung für den Erwartungswert bei nicht negativen Zufallsvariable X

Problem/Ansatz

Es ist diese Formel E(X) = $\sum\limits_{k=1}^{\infty}{P(X>=k)}$

Kann man darauf irgendwie vom der "üblichen" Formel drauf kommen:

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}{k* P(X=k) }$

Answer 1

$\begin{aligned} \sum\limits _{k=1}^{\infty}P(X\geq k) & =\\ P(X\ge1)+\sum\limits _{k=2}^{\infty}P(X\geq k) & =\\ P(X=1)+P(X\geq2)+\sum\limits _{k=2}^{\infty}P(X\geq k) & =\\ P(X=1)+P(X\geq2)+P(X\geq2)+\sum\limits _{k=3}^{\infty}P(X\geq k) & =\\ P(X=1)+2P(X\geq2)+\sum\limits _{k=3}^{\infty}P(X\geq k) & =\\ P(X=1)+2P(X=2)+2P(X\geq3)+\sum\limits _{k=3}^{\infty}P(X\geq k) & =\\ P(X=1)+2P(X=2)+2P(X\geq3)+P(X\geq3)+\sum\limits _{k=4}^{\infty}P(X\geq k) & =\\ P(X=1)+2P(X=2)+3P(X\geq3)+\sum\limits _{k=4}^{\infty}P(X\geq k) & =\\ P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+3P(X\geq4)+\sum\limits _{k=4}^{\infty}P(X\geq k) & \dots \end{aligned}$

Answer 2

Du kannst die neue Formel von der ursprünglichen Formel durch Umordnen einer Doppelreihe erhalten:

$E(X) = \sum_{i=1}^{\infty} iP(X=i)$

$=\sum_{i=1}^{\infty} \underbrace{\sum_{k=1}^i 1}_{=i}\cdot P(X=i)$

$\stackrel{Umordnen}{=}\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{i=k}^{\infty}P(X=i)$

$= \sum_{k=1}^{\infty} P(X\geq k)$

Nachtrag bzgl. Frage im Kommentar:

Summation zeilenweise: $\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{k=1}^i 1\cdot P(X=i)$

Summation spaltenweise: $\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{i=k}^{\infty}P(X=i)$

P(X=1)
P(X=2)	P(X=2)
P(X=3)	P(X=3)	P(X=3)
P(X=4)	P(X=4)	P(X=4)	P(X=4)
...	...	...	...	...

Comments

Warum darf man da Umordnen und wie kommt man auf diese Umordnung? ?

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Schreib dir mal die Indizes als Matrix oder Tabelle auf.

Dann entspricht die eine Reihenfolge der Summation dem Summieren von Spaltensummen und die andere dem Summieren von Zeilensummen.

Das solltest du unbedingt mal selber probieren, weil das eine wichtige Technik im Umgang mit Reihen ist.

Umordnen darf man aufgrund des großen Umordnungssatzes von Riemann. Wir haben es hier beim Erwartungswert mit einer absolut konvergenten Reihe zu tun. Also kann ich umordnen, wie ich lustig bin, ohne den Wert der Reihe zu verändern.

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@mathematisch
Ich hab mal ein Summationsschema in der Lösung ergänzt.

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ok, danke.

Woher weiß ich aber, dass die Reihe absolut konvergent ist?

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Die Reihe besteht nur aus positiven Gliedern!
Wenn E(X) existiert, ist die Reihe endlich.

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Ok, also müsste ich E(X) für mein konkretes beispiel vorher schon ausgerechnet haben, damit ich so argumentieren kann, und es darf nicht unendlich sein

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Wenn E(X) unendlich ist, stimmt die Formel auch, weil dann immer unendlich rauskommt.

Die Formel ist also so oder so nur für endliches E(X) interessant.

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Ja, aber wenn der Erwartungswert unendlich ist, kann ich dann trotzdem so umordnen?

Ich habe einen etwas komplizierten Fall: Ich habe einen Erwartungswert der von n abhängt, und für große n unendlich annehmen kann.

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Natürlich kannst du positive unendliche Reihen umordnen. Aber es bleibt alles unendlich.

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Du hast oben geschrieben, dass ich umordnen kann, wenn ich eine absolute konveergente Reihe habe. Trifft dies automatisch zu, falls alle Summanden positiv sind? Oder wieso darf ich dann umordnen.

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Was kann denn passieren, wenn eine Reihe nur positive Glieder hat?

Fall 1:

Die Reihe ist konvergent (und natürlich dann auch automatisch absolut konvergent) und kann beliebig umgeordnet werden, ohne die Summe zu ändern. Dieses Umordnen ohne Änderung der Summe ist eine Charakterisierung absolut konvergenter Reihen. Deshalb hab ich das erwähnt.

Fall 2:

Die Reihe ist bestimmt divergent gegen $+\infty$. Dann kannst du sie aufgrund der Positivität ihrer Glieder auch umordnen, wie du willst, weil du immer $+\infty$ herausbekommen wirst.

Vielleicht schaust du dir mal den Umordnungssatz von Riemann und den Begriff der unbedingt konvergenten Reihe an, wenn du schon mit Reihen hantierst?