Lebesgue-Maß und Sigma-endlich

Question

Aufgabe:

Sei μ ein Maß auf der Borel-σ-Algebra B eines metrischen Raumes (X,d), das auf beschränkten Mengen aus B endliche Werte annimmt

Zeige:

(i) λ^d ist ein solches Maß ist für jedes d∈ℕ

(ii)  μ ist ein σ-endliches Maß

Vielen Dank für die Hilfe.

Answer 1

Hallo,

ich gehe mal davon aus, dass \(\lambda^d\) das Lebesgue-Maß auf \((\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d))\) meint.

Sei \(A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\) beschränkt. Dann ist \( D := \sup_{x,y\in A} |x-y| < \infty. \)

Sei \(x=(x_1, \dots, x_d)\in A.\). Dann ist \(A \subseteq \prod_{k=1}^d[x_k - D, x_k + D +\frac1n) \) für alle \(n\in\mathbb{N}\),

womit \(\lambda^d(A) \leq \prod_{k=1}^d (2D+\frac1n) \overset{n\to\infty}{\rightarrow} 2^dD^d < \infty \).

Bei ii) haben wir \( X = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} B_d(0,n)\) mit \(\mu(B_d(0,n))< \infty\), da \(B_d(0,n)\in\mathcal{B}(X)\) beschränkt ist.