Komplexe Partialbruchzerlegung: f(x)= 4x/(4x^2+9)

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion

f(x)=4x/(4x^2+9)
In diesem Fall hat die komplexe Partialbruchzerlegung die Form:

A/(2x−(a₁+a₂i))+B/(2x−(a₁−a₂i))

für a₁, a₂≥0 und A,B∈C.
Es gilt: a₁=  , a₂ =   , A=   , B= 

könnte mir jemand hier weiterhelfen?

Danke!

Comments

Welche Nullstellen hat denn der Nenner?

Answer 1

4x^2+9 ist doch sehr konkret

4x²-(3i)²

und damit (2x-3i)(2x+3i).

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Danke sehr!! :)

Answer 2

Für den Nenner gilt $$ 4x^2+9 = 4 \left( x - \frac{3}{2} i \right) \left( x + \frac{3}{2} i \right) $$

Aus $$ \frac{4x}{4x^2 + 9 } = \frac{A}{ 2\left( x - \frac{3}{2} i \right) } + \frac{B}{ 2\left( x + \frac{3}{2} i \right) } = \frac{A}{ 2x - 3 i } + \frac{B}{ 2x + 3 i } = \frac{A (2x + 3 i) +  B (2x - 3i) } { 4x^2+ 9 } $$ folgt durch Koeffizientenvergleich

$$ 2a + 2B = 4  $$ und $$ 3A - 3B = 0 $$ und daraus \( A = 1 \) und \( B = 1 \)

Also zusammengefasst

$$ \frac{4x}{4x^2 + 9 } = \frac{1}{2x - 3i} + \frac{1}{2x+3i}  $$

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Dankeee!! ☺️