Warum gilt die Dimensionsformel dimVxW = dimV + dim W

Question

Aufgabe:

Warum gilt hier die Dimensionsformel dimVxW = dimV + dim W

Problem/Ansatz:

Ich kann leider nicht nachvollziehen, warum das kartesische Produkt von den Vektorräumen V und W für die auch gilt dim V, dim W< unendlich , die oben genannte Dimensionsformel gilt. Würde mich über eine Antwort sehr freuen.

Mfg Daniel

Answer 1

Sei \(B_V\) eine Basis von \(V\) und \(B_W\) eine Basis von \(W\). Dann ist

      \(B = \{(v,0) \in V\times W|\ v \in B_V\} \cup \{(0,w)\in V\times W|\ w \in B_W\}\)

eine Basis von \(V\times W\). Es gilt \(|B| = |B_V| + |B_W|\).

Konkret kannst du zum Beispiel die Elemente von \(\mathbb{Q}^3\times \mathbb{Q}^2\) in der Form

        \(\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}\end{pmatrix}\)

schreiben. Da macht es dann auch keinen entscheidenden Unterschied, ob du stattdessen einfach

    \(\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\\w_1\\w_2\end{pmatrix}\)

schreibst. \(\mathbb{Q}^3\times \mathbb{Q}^2\) ist isomorph zu \(\mathbb{Q}^{5}\)