stetig, gleichmäßig stetig oder lipschitzstetig?

Question

Aufgabe:

e) Ist die Funktion
$\begin{aligned} h: \mathbb{R}^{+} & \longrightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \frac{x^{2}-2}{x+1} \end{aligned}$
stetig, gleichmäßig stetig oder lipschitzstetig?

Answer 1

Es gilt $h'(x)=1+\frac{1}{(x+1)^2}$ und daher

für alle $x\in \mathbb{R}_+$: $0< h'(x)<2$.

$L=2$ ist eine Lipschitz-Konstante, da aus dem Mittelwertsatz der

Differentialrechnung folgt:

$|h(x)-h(y)|\leq 2\cdot |x-y|$.