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Aufgabe:

e) Ist die Funktion
h : R+Rxx22x+1 \begin{aligned} h: \mathbb{R}^{+} & \longrightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \frac{x^{2}-2}{x+1} \end{aligned}
stetig, gleichmäßig stetig oder lipschitzstetig?

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Es gilt h(x)=1+1(x+1)2h'(x)=1+\frac{1}{(x+1)^2} und daher

für alle xR+x\in \mathbb{R}_+: 0<h(x)<20< h'(x)<2.

L=2L=2 ist eine Lipschitz-Konstante, da aus dem Mittelwertsatz der

Differentialrechnung folgt:

h(x)h(y)2xy|h(x)-h(y)|\leq 2\cdot |x-y|.

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