Aufgabe:
e) Ist die Funktionh : R+⟶Rx↦x2−2x+1 \begin{aligned} h: \mathbb{R}^{+} & \longrightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \frac{x^{2}-2}{x+1} \end{aligned} h : R+x⟶R↦x+1x2−2stetig, gleichmäßig stetig oder lipschitzstetig?
Es gilt h′(x)=1+1(x+1)2h'(x)=1+\frac{1}{(x+1)^2}h′(x)=1+(x+1)21 und daher
für alle x∈R+x\in \mathbb{R}_+x∈R+: 0<h′(x)<20< h'(x)<20<h′(x)<2.
L=2L=2L=2 ist eine Lipschitz-Konstante, da aus dem Mittelwertsatz der
Differentialrechnung folgt:
∣h(x)−h(y)∣≤2⋅∣x−y∣|h(x)-h(y)|\leq 2\cdot |x-y|∣h(x)−h(y)∣≤2⋅∣x−y∣.
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