Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich \mathbb{D} von f .

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion $f$ in zwei Veränderlichen mit
$f(x, y)=\sqrt{x^{2}+4 \cdot x+y^{2}+2 \cdot y-4} .$
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich $\mathbb{D}$ von $f$.
$\mathbb{D}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid \square \quad \text { (Nicht beantwortet) } \square\right. \text { । }$
Geben Sie den Mittelpunkt und den Radius der Kreisscheibe an, der den maximalen Definitionsbereich $\mathbb{D}$ von $f$ darstellt.
Kreis Mittelpunkt: $M=$
Radius: $r=$
Welche Fläche gehört zu dem Definitionsbereich $\mathbb{D}$ ?

Answer 1

$f(x, y)=\sqrt{x^{2}+4 \cdot x+y^{2}+2 \cdot y-4} =\sqrt{x^{2}+4 \cdot x \red{+4}+y^{2}+2 \cdot y-4 \red{-4}}=\sqrt{x^{2}+4 \cdot x \red{+4}+y^{2}+2 \cdot y \blue{+1}-4\red{-4}\blue{-1}}=\sqrt{(x+2)^2+(y+1)^2-4\red{-4}\blue{-1}}$.

Answer 2

Aloha :)

$$f(x;y)=\sqrt{x^4+4x+y^2+2y\pink{-4}}$$$$\phantom{f(x;y)}=\sqrt{(x^4+4x\pink{+4})+(y^2+2y\pink{+1})\pink{-9}}$$$$\phantom{f(x;y)}=\sqrt{(x+2)^2+(y+1)^2-9}$$Damit die Wurzelfunktion definiert ist, muss das Argument $\ge0$ sein, d.h:$$(x+2)^2+(y+1)^2\ge3^2$$Das sind alle Punkte $(x;y)\in\mathbb R^2$ außerhalb $(\pink>3^2)$ eines Kreises mit Mittelpunkt $M(-2;-1)$ und Radius $r=3$. Der Rand des Kreises $(\pink=3^2)$ gehört zur Definitionsmenge dazu.