Hier mal Schritt für Schritt:
\(\frac 1{1+|x|} + \frac 1{1+|x-a|} = \frac{2+|x| + |x-a|}{(1+|x|) (1+|x-a|)} \)
\(= \frac{2+|x| + |x-a|}{1+|x| + |x-a| + \color{blue}{|x(x-a)|}}\)
\(\leq \frac{2+|x| + |x-a|}{1+|x| + |x-a|}= 1 + \frac 1{1+|x| + |x-a|}\)
Nun ist
\(|x| + |x-a| = |x| + |a-x| \geq |x+a-x| =a\)
Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn x und a-x dasselbe Vorzeichen haben bzw. einer von beiden Null ist.
Also
\(\frac 1{1+|x|} + \frac 1{1+|x-a|} \leq 1+\frac 1{1+a} = \frac{2+a}{1+a}\)
Wir müssen nur noch zeigen, dass die Gleichheit eintreten kann. Dafür setze z. Bsp. x=0 ein.
