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Aufgabe:

Nr. 3 a), b)


Problem/Ansatz:

Ist das so richtig gelöst von mirIMG_7387.jpeg

Text erkannt:

3. Aufgabe
(18 Punkte)

Wir betrachten die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x, y)=\mathrm{e}^{x+2 y} \) und die Ellipse \( E=\left\{[x, y]^{T} \in \mathbb{R}^{2}: 2 x^{2}+y^{2}=4\right\} \).
(1.) Begründen Sie, warum \( f \) auf \( E \) einen Maximalwert annimmt.
(b) Bestimmmen Sie diesen Maximalwert und eine Stelle, an der er angenommen wird.

IMG_7388.jpeg

Text erkannt:

Nr. 3
\( \begin{array}{l} \text { a) } f(x, y)=e^{x+2 y} \\ =e^{x+2 y} \\ E=\left\{\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2}: 2 x^{2}+y^{2}=4\right\} \\ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \\ f(x, y)=e^{x+2 y} \\ \begin{array}{l} e^{x+2 y} \\ =2 e^{x+2 y} \end{array} \\ 2 x^{2}+y^{2}-4=0 \leftarrow g(x, y) \end{array} \)
\( e^{x+2 y} \)

Lagrange-verfanren:
\( \begin{array}{ll} \nabla f\left(\vec{x}_{0}\right)+\lambda \nabla g\left(\vec{x}_{0}\right)=0 & g(\vec{x} \\ \nabla f(x, y)=\left[\begin{array}{l} e^{x+2 y} \\ 2 e^{2 y+x} \end{array}\right] & g\left(x_{0}\right)=0 \\ \nabla g(x, y) & \binom{x}{y}=\binom{0}{0} \\ \quad=\left[\begin{array}{l} 4 x \\ 2 y \end{array}\right] & \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \nabla f\left(\vec{x}_{0}\right)=-\lambda \nabla g\left(\vec{x}_{0}\right) \\ {\left[\begin{array}{c} e^{x+2 y} \\ 2 e^{2 y+x} \end{array}\right]=-\lambda \cdot\left[\begin{array}{c} \dot{4} x \\ 2 y \end{array}\right]} \end{array} \)
\( \left\lvert\, \begin{array}{l} \text { I. } e^{x+2 y}=-\lambda \cdot 4 x \\ \text { II. } 2 e^{2 y+x}=-\lambda \cdot 2 y \\ x+2 y \end{array}\right. \)

Annahme, \( x=0 \) und \( y=0 \)
\( \begin{array}{l} \text { nnahme, } x=0 \quad \text { und } y=0!e^{x+2 y}+\lambda \cdot 4 x=0 \\ x=0, y=0 \end{array} \)
\( \left.f\left(\vec{p}_{1}\right)=1\right\} \) globales maximum

?

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4 Antworten

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Hallo.


Bei a) fehlt die Begründung. Da sollst du noch nichts rechnen, sondern erklären warum F auf E global maximal wird an einem Punkt. Der Grund ist, das E kompakt im |R^2 und f stetig ist. Das ist eine Folgerung von dem Satz von Waierstraß. Was man also in a) zeigen muss:

1) E ist kompakt, also abgeschlossen und beschränkt.

Für die Abgeschlossenheit definieren wir die Funktionale F : |R^2 —> |R,
F(x,y) := 2x^2 + y^2 - 4. Dann ist F stetig und es gilt E = F^(-1)({0}). Da {0} abgeschlossen ist, ist E als Urbild bzgl. der stetigen Funktion F, dieser abgeschlossenen Menge auch abgeschlossen.

Dann sei (x,y) ein Punkt in E. Dann gilt
||(x,y)|| = sqrt(x^2 + y^2) < sqrt(2x^2 + y^2) = sqrt(4) = 2, also ist E auch beschränkt.

2) f ist stetig, aber das ist eigentlich klar.

Zu b).

Dein Ansatz ist grundsätzlich richtig, nur etwas unklar geschrieben. Die Langrange-Funktionale L auf |R^3 definiert, ist gegeben als

L(x,y,t) := f(x,y) - t F(x,y), wobei F die obige Funktion in a) ist. Davon berechnest du den Gradienten, alle partiellen Ableitungen nach den Variablen x,y,t in einem Vektor und setzt diesen in allen Komponenten gleich 0. Du hast also ein Gleichungssystem.

Löse das Gleichungssystem mit mehreren Fallunterscheidungen. D.h. fange mit einer Gleichung an, in dem du sie in ein Produkt (…)(…) = 0 schreibst und dann zuerst annimmst, das das erste Produkt Null wird und daraus dann mit den anderen Gleichungen die ersten möglichen Lösungen folgerst & dann eben analog mit dem anderen.

Avatar von 1,4 k
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Aloha :)

Hier soll eine Funktion \(f\) unter einer konstanten Nebenbedinung \(g\) maximiert werden:$$f(x;y)=e^{x+2y}\mapsto\text{Maximum}\quad;\quad g(x;y)=2x^2+y^2=4=\text{const}$$

zu a) Wir können die Definitionsmenge der Funktion \(f\) auf die Lösungsmenge \(M\) der Nebenbedingung einschränken, denn nur diese Punkte kommen als mögliche Maxima infrage.

Die Nebenbedinung \(g\) stellt sicher, dass diese Menge \(M\) aus Lösungs-Tupeln \((x;y)\in\mathbb R^2\) besteht, deren Komponenten nicht beliebig groß oder klein werden können. Die Menge \(M\) ist daher beschränkt.

Zustäzlich beschreibt die Menge \(M\) bzw. die Nebenbedingung \(g\) die Randpunkte einer Ellipse, stellt also eine geschlossene (d.h. sie enthält alle Randpunkte) Menge dar.

Nach dem Satz von Weierstraß nimmt jede stetige Funktion auf einer nichtleeren, kompakten (also abgeschlossen und beschränkten) Definitionsmenge ihr Minimum und ihr Maximum an.

Da die Funktion \(f\) überall stetig ist und die Nebenbedinung \(g\) eine kompakte Menge beschreibt, nimmt die Funktion \(f\) ihr Maximum unter der Nebenbedingung \(g\) an.


zu b) Nach Lagrange muss in einem Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller konstanten Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, erhalten wir daraus eine einfache Forderung:$$\operatorname{grad}f(x;y)\stackrel!=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{e^{x+2y}}{2e^{x+2y}}\stackrel!=\lambda\cdot\binom{4x}{2y}$$

Nun hast du versucht, ein Gleichungssystem zu lösen. Du kannst aber den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) relativ leicht loswerden, indem du die Gleichung der ersten Koordinate durch die der zweiten Koordinate dividierst:$$\frac{e^{x+2y}}{2e^{x+2y}}=\frac{\lambda\cdot4x}{\lambda\cdot2y}\implies\frac12=\frac{2x}{y}\implies \pink{y=4x}$$

Die pinke Lagrange-Forderung setzen wir in die Nebenbedinung ein:$$\small 4=2x^2+\pink y^2=2x^2+(\pink{4x})^2=18x^2\implies x^2=\frac29\implies x=\pm\frac{\sqrt2}{3}\pink{\implies} y=\pm\frac{4\sqrt2}{3}$$

Wir erhalten also zwei Kandidaten für Extrema:$$K_1\left(\frac{\sqrt2}{3}\,\bigg|\,\frac{4\sqrt{2}}{3}\right)\quad;\quad K_2\left(-\frac{\sqrt2}{3}\,\bigg|\,-\frac{4\sqrt{2}}{3}\right)$$

Wenn wir die in die Funktions \(f\) einsetzen erhalten wir;$$f(\vec k_1)=e^{3\sqrt2}\quad;\quad f(\vec k_2)=\frac{1}{e^{3\sqrt2}}$$

Das Maximum befindet sich also bei \(K_1\) und das Minimum bei \(K_2\).


Ergänzung nach Kommentar von nudger:

Beim Dividieren der Koordinatengleichungen erhalten wir \(\frac12=\frac{2x}{y}\). Diese Gleichung ist für \(y=0\) nicht definiert. Daher müsste man den Sonderfall \(y=0\) gesondert betrachten. Aus der Nebenbedingung folgt bei Einsetzen von \(y=0\) dann \(x=\pm\sqrt2\). Das führt auf die beiden Funktionswerte \(e^{\sqrt2}\) und \(\frac{1}{e^{\sqrt2}}\). Das gefundene Maximum ist größer und das gefundene Minimum ist kleiner als die beiden Werte. Der Sonderfall \(y=0\) liefert also keine weiteren Extrema.

Avatar von 151 k 🚀

Vom Dividieren als Umformung ist abzuraten, weil man da oft - wie in dieser Antwort - die nötige Fallunterscheidung vergisst.

Nee, eigentlich nicht. Du kannst davon ausgehen, dass \(\lambda\ne0\) ist, sonst wäre die Nebenbedingung nicht beachtet worden. In der enthaltenen Gleichung sind dann alle Sonderfälle enthalten.

Du hast aber insofern recht, dass hier \(y\) im Nenner steht, was zu dem Sonderfall \(y=0\) und \(x=\pm\sqrt2\) führt. Das führt auf die beiden Funktionswerte \(e^{\pm\sqrt2}\). Das hätte ich vielleicht noch ergänzen sollen, mache ich auch noch.

Vielen Dank für den Hinweis.

+1 Daumen

Hier mal noch eine andere Möglichkeit, wie man ganz einfach das Maximum und eine Maximalstelle mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung bestimmen kann.


Zunächst einmal wissen wir, dass die Funktion \(e^t\) streng monoton wachsend ist. Damit können wir erst einmal das Maximum von \(x+2y\) auf \(E\) bestimmen.


Wir optimieren also den linearen Ausdruck \(x+2y\) auf \(E\). \(E\) ist aber gegeben durch eine Summe von Quadraten:

\(2x^2+y^2 = {\color{green}{(\sqrt 2 x)^2+ y^2}} = 4\).


Wenn du so etwas siehst, ab jetzt immer auch an die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (Abk.: CSU) denken. Du musst den linearen Ausdruck nur so umschreiben, dass auf der rechten Seite der Ungleichung die Nebenbedingung erscheint:


\(x+2y = {\color{blue}\frac 1{\sqrt 2}}\cdot(\sqrt 2 x) + {\color{blue}2}\cdot y\)

\(\stackrel{CSU}{\leq}\sqrt{\left( {\color{blue}\frac 1{\sqrt 2}}\right)^2 + {\color{blue}2}^2}\cdot \sqrt{{\color{green}{(\sqrt 2 x)^2+ y^2}}}=3\sqrt 2\)


Jetzt kennen wir schon das Maximum von \(f\) auf \(E\):

\(\boxed{\max_{E}f(x,y) = e^{3\sqrt 2}}\)


Die Ungleichung liefert uns auch eine Maximalstelle, denn dort muss gelten:

\(\begin{pmatrix} \sqrt 2 x\\ y \end{pmatrix} = p \color{blue}\begin{pmatrix} \frac 1{\sqrt 2}\\ 2 \end{pmatrix}\) mit einer Zahl \(p>0\).

Das setzt du in die Nebenbedingung ein und erhältst

\(p = \frac 23 \sqrt 2\)

Damit berechnest du die Maximalstelle:

\( \boxed{\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}  =  \frac{\sqrt 2}3\begin{pmatrix} 1\\ 4 \end{pmatrix} }\)

Avatar von 11 k
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a) hast Du nicht gemacht? Suche einen passenden Satz in der Vorlesung.

b) Verfahren soweit richtig, aber was soll die Annahme x=y=0? Das ist offensichtlich keine Lösung des Gleichungssystems. Das wirst Du schon lösen müssen. Kombiniere die beiden Gleichungen so (ähnlich wie beim Gauß-Algorithmus), dass unangenehme Terme rausfallen. Dann Satz vom Nullprodukt und Fälle durchspielen.

Avatar von 9,2 k

Habe x=0 und y=0 gesetzt, weil man

e^(x+2y) - lambda * 4x = 0 nicht nach x auflösen kann, und die zweite auch nicht

Das erfüllt aber nicht die Gleichungen, hast Du das nicht geprüft? Vorgehen s.o.

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