Beweisen Sie die folgende Identität (ln(x)+ln(y))/2 <= ln((x+y)/2)

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Beweisen Sie die folgenden Identitäten:
a) \( \frac{\ln (x)+\ln (y)}{2} \leq \ln \left(\frac{x+y}{2}\right) \) für alle \( x, y>0 \).

Problem/Ansatz:

Habe ich leider noch nicht, da ich es einfach nicht schaffe. Brauche Hilfe!

Comments

https://www.mathelounge.de/989725/beweisen-sie-die-folgenden-identitaten-a-b#a989730

Answer 1

Aloha :)

Da \(x\) und \(y\) beide positiv sind, können wir die Wurzel ziehen und es gilt:$$0\le(\sqrt x-\sqrt y)^2=(\sqrt x)^2-2\sqrt x\sqrt y+(\sqrt y)^2=x-2\sqrt{xy}+y\implies \sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}$$Das heißt für die (streng monoton wachsende) Logarithmusfunktion:$$\ln\left(\frac{x+y}{2}\right)\ge\ln\left(\sqrt{xy}\right)=\frac12\ln(xy)=\frac{\ln x+\ln y}{2}$$

Comments

Vielen dank :)

Answer 2

Ich würde zunächst beide Seiten der (Un)Gleichung mit der Exponentialfunktion potenzieren und dann mit den normalen Potenzgesetzen weitermachen.