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Beweisen Sie die folgenden Identitäten:
a) \( \frac{\ln (x)+\ln (y)}{2} \leq \ln \left(\frac{x+y}{2}\right) \) für alle \( x, y>0 \).
b) \( \operatorname{artanh}(x)=\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right) \) für alle \( \left.x \in\right]-1,1[ \).
Hierbei ist der Area tangens hyperbolicus artanh : \( ]-1,1[\rightarrow \mathbb{R} \) die Umkehrfunktion des Tangens hyperbolicus \( \tanh : \mathbb{R} \rightarrow]-1,1\left[, \tanh (x)=\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}\right. \).


Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bitte bei dieser Frage helfen? Komme nicht auf das Ergebnis und gerne mit Erklärung will das verstehen. Danke im Voraus.

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Tschakabumba kannst du mir bitte helfen ?

2 Antworten

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a) Wegen des Krümmungsverhaltens (konkav) ist der Funktionswert der Intervallmitte größer als das arithmetische Mittel der Randfunktionswerte.


Bei b) würde ich mal die Umkehrfunktion der rechten Seite bilden und schauen, ob dabei die Umkehrfunktion der linken Seite rauskommt.

Avatar von 53 k 🚀
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Zu b)

Ich würde prüfen, ob \(\tanh(\text{rechte Seite})=x\) ist.

Avatar von 29 k

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