Zeigen sie dass: n^p-n durch p teilbar ist

Question

4 Antworten

Ein anderes Problem?

abakus · Answer 1 · 2023-01-18T19:44:32+0000

Die Aussage ist falsch.

2^6-2 ist 62.

62 ist NICHT durch 6 teilbar.

MontyPython · Answer 2 · 2023-01-18T20:02:05+0000

Ich habe keine vollständige Lösung, fange aber einmal an.

Ich setze voraus, dass p eine Primzahl ist.

p=2

n²-n =n(n-1)

Einer der beiden Faktoren ist immer gerade, also durch 2 teilbar.

p=3

n^3-n=n(n-1)(n+1)

Drei aufeinander folgende Zahlen, eine ist durch 3 teilbar.

...

Zum weiteren Studium:

:-)

ermanus · Answer 3 · 2023-01-18T22:02:55+0000

\(p\) sei prim, \(n\) natürlich:

Ich tu mal so, als ob ich dem kleinen Fermat nie begegnet wäre.

Daher Beweis mit vollst. Induktion über \(n\):

IA: \(n=1: \; 1^p-1=1-1=0\equiv 0\) mod \(p\)

IV: \(n^p-n \equiv 0\) mod \(p\).

IS: Nach dem binomische Satz gilt:

\((n+1)^p-(n+1)=\)

\(=n^p+\sum_{k=1}^{p-1}{p\choose k}n^{p-k}+1-n-1=\)

\(\equiv n^p+1-n-1=n^p-n\equiv 0\) mod \(p\),

da \({p\choose k}\equiv 0\) mod \(p\) für \(0<k<p\) gilt.

Der_Mathecoach · Answer 4 · 2023-01-19T00:07:20+0000

Es sollte Erwähnung finden das n eine natürliche Zahl und p eine Primzahl ist.

Dann findest du alles, was du für einen schönen Beweis brauchst unter

Sollten wieder erwarten dazu noch Fragen auftreten melde dich gerne nochmals.