0 Daumen
981 Aufrufe

Aufgabe:

Zeigen sie dass: blob.png

Text erkannt:

npn n^{p}-n

durch p teilbar ist.



Text erkannt:

\( n^{p}-n


Text erkannt:

\( n^{p}-n



Problem/Ansatz:

Mit vollständiger Induktion?

Avatar von

In der Originalaufgabe steht sicher noch, welcher Art die Zahlen n und p sind. Bessere das mal nach.

Vermutlich fehlt:

Sei p eine Primzahl und n eine natürliche Zahl.

Ach nein. Das überrascht mich jetzt!

;-)

Warten wir mal auf die Reaktion des Fragestellers.

Vielleicht muss er seine Fragestellung nochmal fermatieren.

"fermatieren" gefällt mir.

:-)

4 Antworten

0 Daumen

Die Aussage ist falsch.

26-2 ist 62.

62 ist NICHT durch 6 teilbar.

Avatar von 56 k 🚀
0 Daumen

Ich habe keine vollständige Lösung, fange aber einmal an.

Ich setze voraus, dass p eine Primzahl ist.

p=2

n²-n =n(n-1)

Einer der beiden Faktoren ist immer gerade, also durch 2 teilbar.

p=3

n3-n=n(n-1)(n+1)

Drei aufeinander folgende Zahlen, eine ist durch 3 teilbar.

...

Zum weiteren Studium:

https://mathepedia.de/Satz_von_Fermat.html

:-)

Avatar von 47 k

Kennst du den kleinen Fermat?

Also ich meine wirklich den kleinen, niedlichen Fermat.

Nicht den großen, der laut Legende auf einen Zeitungsrand gepasst haben soll..


PS: Natürlich kennst du ihn.

Kennst du den kleinen Fermat?

Ich habe ihn in meine Antwort eingebaut.

0 Daumen

pp sei prim, nn natürlich:

Ich tu mal so, als ob ich dem kleinen Fermat nie begegnet wäre.

Daher Beweis mit vollst. Induktion über nn:

IA: n=1 :   1p1=11=00n=1: \; 1^p-1=1-1=0\equiv 0 mod pp

IV: npn0n^p-n \equiv 0 mod pp.

IS: Nach dem binomische Satz gilt:

(n+1)p(n+1)=(n+1)^p-(n+1)=

=np+k=1p1(pk)npk+1n1==n^p+\sum_{k=1}^{p-1}{p\choose k}n^{p-k}+1-n-1=

np+1n1=npn0\equiv n^p+1-n-1=n^p-n\equiv 0 mod pp,

da (pk)0{p\choose k}\equiv 0 mod pp für 0<k<p0<k<p gilt.

Avatar von 29 k
0 Daumen

Es sollte Erwähnung finden das n eine natürliche Zahl und p eine Primzahl ist.

Dann findest du alles, was du für einen schönen Beweis brauchst unter

https://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=75862

Sollten wieder erwarten dazu noch Fragen auftreten melde dich gerne nochmals.

Avatar von 493 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage