Berechne den Rang der 2x3-Matrix:

Question

Aufgabe:

Berechne den Rang der 2x3-Matrix:

A = $\begin{pmatrix} -3 & 2 & 1 \\ -4 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

Problem/Ansatz:

Ich habe irgendwie Probleme dabei Matrizen in die Zeilenstufenform zu bringen. Die Lösung für die Aufgabe ist diese:

(Z2 − $\frac{4}{3}$· Z1) $\begin{pmatrix} -3 & 2 & 1 \\ 0 & -\frac{8}{3} & -\frac{10}{3} \end{pmatrix}$

⇒ Rang(A) = 2

Ich habe das Ganze aber so gelöst:

A = $\begin{pmatrix} -3 & 2 & 1 \\ -4 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

= (Z2 - Z1) $\begin{pmatrix} -3 & 2 & 1 \\ -1 & -2 & -3 \end{pmatrix}$

= (Z2 ↔ Z1) $\begin{pmatrix} -1 & -2 & -3 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

= (Z2 - (-3) · Z1) $\begin{pmatrix} -1 & -2 & -3 \\ 0 & 8 & 10 \end{pmatrix}$

Ich komme also auch auf Rang(A) = 2. Ist mein Ansatz auch richtig und ich habe mir quasi mehr Arbeit gemacht als nötig oder ist er trotzdem falsch?

Answer 1

Deine Rechnung ist ganz korrekt.

Ich würde die Aufgabe dennoch anders lösen,

weil ich rechenfaul bin:

Die zwei Matrix-Zeilen sind genau dann linear abhängig,

wenn eine der beiden Zeilen ein skalares

Vielfaches der anderen ist, was offenbar nicht

der Fall ist. Da die Matrix höchstens den Rang min(2,3)=2

haben kann, ist der Rang = 2.

Comments

Vielen Dank für die Antwort und den Tipp!