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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir gehen von der Summenformel für die unendlche geometrische Reihe aus:$$\sum\limits_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}\quad;\quad|x|<1$$
Wir leiten nun beide Seiten dieser Gleichung ab. Solange wir uns im Konvergenzradius \(|x|<1\) der Potenzreihe bewegen, können wir die Ableitung unter die Wurzel ziehen:$$\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{k=0}^\infty x^k\right)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{d}{dx}(x^k)=\sum\limits_{k=0}^\infty kx^{k-1}$$Die Ableitung der rechten Seite können wir direkt hinschreiben:$$\sum\limits_{k=0}^\infty kx^{k-1}=\frac{1}{(1-x^2)}$$Die Multiplikation beider Seiten mit \(x\) liefert das gesuchte Ergebnis:$$\sum\limits_{k=0}^\infty kx^k=\frac{x}{(1-x)^2}\quad;\quad|x|<1$$
