Umformen Polynom zur Reihe ;Konvergenz Konvergenzradius Potenzradius

Question

nach welcher Methode kann man (allgemein) ein reelles Polynom zu einer Potenzreihe umformen? Dies ist nötig um den Konvergenzeadius zu ermitteln.

Das Polynom um das es sich speziell handelt befindet sich im Bild

Answer 1

du hast ja  nur eine endliche Menge an Potenzen, da ist das nicht schwer.

f(x)=1+7x^3+5x^4+x^13+x^2015

Potenzreihe um Entwicklungsstelle x₀=0

T(x)=∑_n=0^∞ a_n*x^n

wobei

a_n={      1 für n=0

              7 für n=3

              5 für n=4

              1 für n=13

              1 für n=2015

              0 sonst

Den Konvergenzradius kannst du mit Cauchy-Hadamard berechen:

r=1/lim sup n--> ∞ |a_n|^{1/n}

der limes superior ist hier genau der Wert, den |a_n| maximal annimmt, also |a₃|=7

--> r= 1/lim  n--> ∞ |7|^{1/n}=1/0=∞

Die Reihe konvergiert also für alle x∈ℝ

Dieses Verfahren kann man für jedes reelle Polynom mit konstanten Koeffizienten durchführen. Der Konvergenzradius ist dann immer ∞.