Extrem- und Wendepunkte. 2.Ableitung

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die folgenden Aussagen rechnerisch

a) Eine quadratische ganzrationale Funktion kann keine Wendepunkte haben

b) Eine ganzrationale Funktion vierten Grades hat maximal zwei Wendestellen

c) Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat stets genau eine Wendestelle

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte einer helfen, ich weiß nicht wie ich das machen soll wir haben Thema gerade Krümmung, extrem und Wendepunkte. 2 Ableitung

Danke

Answer 1

a) Eine quadratische ganzrationale Funktion kann keine Wendepunkte haben

Beweise dass die zweite Ableitung der Funktrion

        $f(x) = ax^2 + bx + c$

im Falle $a\neq 0$ keine Nullstellen hat.

b) Eine ganzrationale Funktion vierten Grades hat maximal zwei Wendestellen

Beweise dass die zweite Ableitung der Funktrion

      $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$

maximal zwei Nullstellen hat.

c) Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat stets genau eine Wendestelle

Beweise dass die zweite Ableitung der Funktrion

      $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

im Falle $a\neq 0$ genau eine Nullstelle hat und dass an dieser Stelle die dritte Ableitung nicht 0 ist.

Answer 2

Hallo,

notwendige Bedingung für Extrempunkte: 2. Ableitung = 0

1. quadratische Funktion: Eine Parabel, die nur einen Extrem-(Scheitel-)punkt hat und somit keine Wendestelle.

$f(x)=ax^2+bx+c\\ f'(x)=2ax+b\\ f''(x)=2a\\ 2a=0\Rightarrow a =0$

weitere Bedingung: $f'''(x)\neq 0$. Das ist aber nicht der Fall.

2. Funktion 4. Grades

$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\\ f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d\\ f''(x)=12ax^2+6bx+2c\\ 12ax^2+6bx+2c=0\\ x^2+\frac{0,5b}{a}x+\frac{c}{6a}=0$

f''(x) ist eine quadratische Funktion, die maximal 2 Nullstellen haben kann. Anwendung beispielsweise der pq-Formel.

3. Funktion 3. Grades

Das schaffst du sicher selber. Sonst melde dich nochmal.

Gruß, Silvia

Comments

c)   $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Aber weiter komme ich nicht

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Ableiten .....................................

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Funktion 4. Grades$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\\ f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d\\ f''(x)=12ax^2+\red{3bx}+2c\\ 12ax^2+\red{3bx}+2c=0\\ x^2+\red{\frac{0,25bx}{a}}+\frac{c}{6a}=0$

Das rot dargestellte ist falsch.

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Vielen dank, was ist das richtige

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Kannst du 3*b*x² nicht selbst nach x ableiten????

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Kommt jetzt überall wo 3bx steht nur 3b hin ?

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Ich bin total verwirrt gerade, was sind die  rot markierten nun richtig

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Silvia, könnten sie mir bei der c) helfen? Bitte

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Kommt jetzt überall wo 3bx steht nur 3b hin ?

Um Himmels Willen, nein!

Was ist die Ableitung von x²?

Was ist dann die Ableitung von (3*b)*x²?

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notwendige Bedingung für Extrempunkte: 2. Ableitung = 0

Du meinst : 1. Ableitung

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Du meinst : 1. Ableitung

Gemeint ist

notwendige Bedingung für WENDEpunkte: 2. Ableitung = 0

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Der Wendepunkt gilt nicht als Extremstelle, soweit ich weiß.

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Ich habe meine Antwort zu b) korrigiert.

Aufgabe c), ganzrationale Funktion 3. Grades

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)=3ax^2+2bx+c\\ f''(x)=6ax+2b\\$

f''(x) ist eine eine Gerade, die die x-Achse nur in einem Punkt schneiden kann.