Komplexe Kurvenintegrale lösen

Question

Aufgabe:

 \( \int \limits_{C} \bar{z} d z \) mit \( C:=\{z \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Im} z=\sin (\operatorname{Re} z), \operatorname{Re} z \in[0,2 \pi]\} \), wobei 0 der Anfangspunkt und \( 2 \pi \) der Endpunkt sei,
 \( \int \limits_{C} \cos z d z \quad \operatorname{mit} C: \vec{c}(t)=\cos ^{11} t+\sin ^{6} t, t \in[0,2 \pi] \),

Problem/Ansatz:

Ich weiß bei beiden nicht wirklich wie ich vorgehen soll.

Bei (1): Kann ich die Kurve als c(t) = isin(t)+t parametrisieren?

Bei (2): Über die Definition eines Kurvenintegrals zu gehen sieht ziemlich ekelig aus... Gibt es hier einen besseren Weg?

Answer 1

Zu (1):
Das ist die naheliegendste Parametrisierung von C. Also

\(\int_C\bar z \; dz = \int_0^{2\pi}(t-i\sin t)(1+i\cos t)\; dt = 2\pi^2\)

Rechnung hier.

Zu (2)
C ist eine geschlossene Kurve und \(\cos z\) ist holomorph in ganz \(\mathbb C\). Also ist das Integral 0.

Comments

Danke, komme bei (1) auch auf die \( 2\cdot \pi^2\) .

Wie erkenne ich, dass bei (2) die Kurve geschlossen ist?

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Setz mal \(t=0\) und \(t=2\pi\) ein.

Übrigens: Könnte es sein, dass bei (2) ein \(i\) z. Bsp. vorm Sinus fehlt?

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Stimmt, ne in der Aufgabe steht es so, wie ich es gepostet habe