Aufgabe:
Es ist die Matrix
\( A_{\alpha}:=\left(\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 0 \\ 2 & \alpha & 1 \\ -10 & 0 & -2 \end{array}\right) \)
mit einem Parameter \( \alpha \in \mathbb{R} \) gegeben.
(a) Untersuchen Sie, für welche Parameterwerte \( \alpha \in \mathbb{R} \) die Matrix \( A_{\alpha} \) diagonalisierbar ist.
(b) Bestimmen Sie für \( \alpha=3 \) eine invertierbare Matrix \( S \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \) und eine Diagonalmatrix \( D \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \), so dass \( A_{3}=S D S^{-1} \) gilt.
Problem/Ansatz:
Bei a habe ich die Eigenwerte berechnet.
det(A)= (3-k)(a-k)(-2-k)
k1= 3, k2=a, k3=-2
Daraus würde ich schließen das a element R ist.
bei b)
Das habe ich die Matrix:
\( A_{\alpha}:=\left(\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ -10 & 0 & -2 \end{array}\right) \)
Mit den eigenwerten k1=3, k2=3, k3=3
Eigenvektoren
\( k1=\left(\begin{array}{rrr} -0.5\\ 0\\ 1 \end{array}\right) \)
K2=\( \left(\begin{array}{rrr} -0.5\\ 0\\ 1 \end{array}\right) \)
\( k3=\left(\begin{array}{rrr} 0\\ -0.2\\ 1 \end{array}\right) \).
S= \( A_{3}:=\left(\begin{array}{rrr} -0.5 & -0.5 & 0 \\ 0 & 0 & -0.2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \)
D= \( A_{3}:=\left(\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right) \)
Aber wenn ich die invertierte matrix S ausrechnen will, kommt det=0, also nicht invertierbar.
Könnte mir jemand dabei helfen, ob die Aufgaben richtig sind oder nicht und wenn nicht mir dabei helfen könnte.
