0 Daumen
78 Aufrufe

Aufgabe:

Es ist die Matrix
\( A_{\alpha}:=\left(\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 0 \\ 2 & \alpha & 1 \\ -10 & 0 & -2 \end{array}\right) \)
mit einem Parameter \( \alpha \in \mathbb{R} \) gegeben.
(a) Untersuchen Sie, für welche Parameterwerte \( \alpha \in \mathbb{R} \) die Matrix \( A_{\alpha} \) diagonalisierbar ist.
(b) Bestimmen Sie für \( \alpha=3 \) eine invertierbare Matrix \( S \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \) und eine Diagonalmatrix \( D \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \), so dass \( A_{3}=S D S^{-1} \) gilt.


Problem/Ansatz:

Bei a habe ich die Eigenwerte berechnet.

det(A)= (3-k)(a-k)(-2-k)

k1= 3, k2=a, k3=-2

Daraus würde ich schließen das a element R ist.


bei b)

Das habe ich die Matrix:

\( A_{\alpha}:=\left(\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ -10 & 0 & -2 \end{array}\right) \)

Mit den eigenwerten k1=3, k2=3, k3=3

Eigenvektoren

 \( k1=\left(\begin{array}{rrr} -0.5\\ 0\\ 1 \end{array}\right) \)

K2=\( \left(\begin{array}{rrr} -0.5\\ 0\\ 1 \end{array}\right) \)

\( k3=\left(\begin{array}{rrr} 0\\ -0.2\\ 1 \end{array}\right) \).

S= \( A_{3}:=\left(\begin{array}{rrr} -0.5 & -0.5 & 0 \\ 0 & 0 & -0.2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \)

D= \( A_{3}:=\left(\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right) \)

Aber wenn ich die invertierte matrix S ausrechnen will, kommt det=0, also nicht invertierbar.


Könnte mir jemand dabei helfen, ob die Aufgaben richtig sind oder nicht und wenn nicht mir dabei helfen könnte.

von

Die Aufgabe ist soweit Richtig


Zweimal der gleiche Eigenvektor kann wohl kaum richtig sein.

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

a ∈ ℝ ist Vorgabe:

Allgemein erhältst Du die Eigenvektoren

\(\small T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}0&\frac{-1}{2}&0\\\frac{-1}{\alpha + 2}&0&1\\1&1&0\\\end{array}\right)\)

es gibt also Ärger für α=-2, an sonsten

\(\small D \, :=  \, T^{-1} \; A \; T\)

von 18 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community