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Aufgabe:

a ∈ ℕ

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \frac{1}{n^{a+1}} \) \( \sum\limits_{k=1}^{n}{k^a} \) = \( \frac{1}{a+1} \)

Wie lässt folgende Aussage mittels riemannscher Zwischensummen beweisen?

vor von

1 Antwort

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Betrachte die Funktion \(f(x)=x^a\) für \(x\in [0,1]\).

Zerlege das Intervall in \(n\) gleichlange Teilintervalle

\([\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}],\; k=1,\cdots,n\).

Nun bilde die Riemannsche Summe

\(\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} f(\frac{k}{n})\to \int_0^1f(x)dx\)

vor von 22 k

Danke für die schnelle Antwort, wie kann ich den Pfeil in der letzten Zeile verstehen?

Der bedeutet: die Riemannsumme konvergiert gegen das Integral
für \(n\rightarrow \infty\).

Ah das wär dann das Folgenkriterium oder?

Nein. Das hat damit gar nichts zu tun.
Es geht darum, dass das Riemann-Integral
als Limes der Riemann-Summen definiert werden kann:

https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral#Riemann-Summen

Da \(f\) stetig ist, ist es Riemann-integrierbar.

Und woher kommt das 1/n nach der Summe?

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}(\frac{k}{n})^a=\frac{1}{n}\sum \frac{k^a}{n^a}=\frac{1}{n^{a+1}}\sum k^a$$

\(1/n\) ist die Breite der senkrechten Streifen,

deren Fläche also \(=1/n\cdot f(k/n)\) ist.

und für 1/a+1 muss man dann das Integral berechnen?

Du meinst wohl 1/(a+1), oder?

Ja, \(x^a\) hat als Stammfunktion \(x^{a+1}/(a+1)+C\),

wie du sicher aus der Schule weißt ;-)

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