Zeigen Sie: \operatorname{det}(C_{n})=n !.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es seien \( n \in \mathbb{N}, n \geq 1 \), sowie
\( C_{n}=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1^{2} & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 1 & 2^{2} & \ddots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & -1 & 1 & (n-1)^{2} \\ 0 & \cdots & 0 & -1 & 1 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n} \)
Zeigen Sie: \( \operatorname{det}\left(C_{n}\right)=n \) !.

Problem/Ansatz:

Ich habe das versucht über Induktion und die Streichmatrix zu machen allerdings geht das hier maßlos schief außer ich übersehe etwas. Wäre über Hilfe/Lösung dankbar!

Comments

Nach meinen Berechnungen liefert Entwicklung nach der letzten Zeile
\(\det(C_n)=\det(C_{n-1})+(n-1)^2{\cdot}\det(C_{n-2})\).

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ah ich hab das nach der ersten gemacht. aber das müsste doch eigentlich auch gehen oder nicht?

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Entwicklung nach der ersten Zeile bringt vermutlich nicht viel, da die dabei entstehenden Streichmatrizen nicht mehr die Form der Matrizen \(C_n\) haben. Wenn nach der letzten Zeile entwickelt wird, findet man relativ bald die Matrizen \(C_{n-1}\) und \(C_{n-2}\) wieder.