Vererbung von Diagonalisierbarkeit bei Addition/ Multiplikation

Question

Aufgabe:

gibt es eine Aussage darüber wie sich Diagonalisierbarkeit bzgl. Addition und Multiplikation verhält?

Wenn beispielsweise A, und B diagonalisierbare Endomorphismen sind, kann man daraus folgern ob AB oder A+B ebenfalls diagonalisierbar ist?

Danke im voraus.

Comments

Z.B. sind die Matrizen \(\small\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\) und \(\small\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\) offenbar diagonalisierbar, deren
Produkt \(\small\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\) aber nicht.
Deren Summe \(\small\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) auch nicht.

Answer 1

Als Tipp: Nimm an, dass A und B eine gemeinsame Basis aus Eigenvektoren besitzen. Das ist äquivalent dazu dass es eine invertierbare Matrix S gibt, so dass SAS^-1 und SBS^-1 diagonal sind.

Sind nun AB und A+B diagonal?

Obige Bedingung nennt man simultan diagonalisierbar und ist außerdem äquivalent zu AB=BA.