Beweis mit Körperaxiomen

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit den Körperaxiomen, die folgende Aufgabenstellung:

x * y = 0 <=> x = 0 ∨ y = 0

Problem/Ansatz:

Guten Morgen! Ich muss aufgrund der Äquivalenz dann beide Richtungen zeigen. Zum einen, dass

x * y = 0 => x = 0 ∨ y = 0 gilt

und zum anderen, dass

x * y = 0 <= x = 0 ∨ y = 0

gilt. Kann ich dabei sagen, dass xy = 0 ist und ich weiß, dass 0 = x * 0 ist so xy = x * 0 dann kann ich x kürzen; y = 0 analog auch für x. hierbei komme ich leider nicht weiter.

Answer 1

Ihr habt ja wohl für alle a∈K schon bewiesen a*0=0*a=0. #

Dann ist doch die Richtung x * y = 0 <= x = 0 ∨ y = 0 schon klar:

1. Fall: x=0   ==>  x*y = 0*y = 0

2. Fall: y=0  ==>  x*y = x*0 = 0

Andere Richtung:  Sei nun x*y=0 und angenommen x≠0 und y≠0 ##

Dann besitzt x ein multiplikatives Inverses x^(-1) und es folgt

                             x*y = 0

==>                 x^(-1)*(x*y)=x^(-1)*0 links assoziativ rechts #

==>                 (x^(-1)*x)*y = 0   Def. mult. Inverses

==>                             1*y = 0

==>                              y = 0    Widerspruch zu ##