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Der Richtungsvektor \(\vec v\) der Geraden muss auf der Ebene senkrecht stehen, d.h.$$\vec v\perp\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-6\\3\\3\end{pmatrix}\quad;\quad \vec v\perp\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}$$Zur Lösung dieses Problems gibt es zwei bewährte Möglichkeiten.
(1) Mit Hilfe des Vektorproduktes.
Das Vektorprodukt steht senkrecht auf den beiden Argumenten-Vektoren:$$\vec v=\begin{pmatrix}-6\\3\\3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12+6\\3+24\\12-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18\\27\\9\end{pmatrix}=9\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}$$Da es nicht auf die Länge, sondern nur auf die Richtung des Vektors ankommt, darf der Faktor \(9\) ignoriert werden.
(2) Mit Hilfe des Skalarprodutes.
Das Vektorprodukt von zwei Vektoren ist \(0\), wenn sie orthogonal zueinader stehen:$$0\stackrel!=\begin{pmatrix}-6\\3\\3\end{pmatrix}\cdot\vec v=\begin{pmatrix}-6\\3\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=-6x+3y+3z$$$$0\stackrel!=\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}\cdot\vec v=\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=x-2y+4z$$Die zweite Gleichung kannst du nach \(x\) umstellen:$$\pink{x=2y-4z}$$und in die erste Gleichung einsetzen:$$0=-6\pink{(2y-4z)}+3y+3z=-12y+24z+3y+3z=-9y+27z\implies \green{y=3z}$$Wegen \(\pink{x=2}\green y\pink{-4z}=2\cdot\green{3z}-4z=\pink{2z}\) erhalten wir so den gesuchten Vektor \(\vec v\) bis auf die Länge bzw. bis auf einen Vorfaktor eindeutig bestimmt:$$\vec v=\begin{pmatrix}\pink x\\\green y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\pink{2z}\\\green{3z}\\z\end{pmatrix}=z\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}$$
