Definitheit für Extremstellen

Question

ich habe folgende Fragen zur Definitheit (Bestimmung mit Hauptminoren)

1: Was ist wenn eine Hauptminore, also eine der Determinanten = 0 ist? Ist es dann direkt indefinit? Was sagt mir das über eine mögliche Extremstelle?

2. Meines wissens nach ist eine 3x3 Matrix dann negativ definit, wenn alle geraden Hauptminoren >0 und alle ungeraden <0 sind. Was ist wenn alle negativ sind? Ist es dann auch negativ definit oder indefinit? Beispielsweise bei einer 2x2 Matrix müssen ja alle negativ sein, um negative Definitheit zu bekommen.

Danke

Comments

Betrachte z.B. die 3×3-Matrix \(\small\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\). Alle Hauptminoren sind negativ, aber die Matrix ist indefinit.

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Gut danke dann hat sich diese Frage schon mal geklärt. Kannst du noch was zur ersten Frage sagen? Wie gehe ich mit 0en um? Ist eine 0 positiv oder negativ zu werten? Oder folgt auch hier dann indefinitheit?

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Das wird hier https://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit#Hauptminoren ganz gut erklärt.

Answer 1

Aloha :)

Positiv definit ist die Matrix, wenn alle Hauptminoren positiv sind.

Negativ definit ist die Matrix, wenn die Hauptminoren abwechselnd negativ und positiv sind, beginnend mit negativ.

In Kurzform:$$\text{pos. definit}\quad++++\cdots$$$$\text{neg. definit}\quad-+-+\cdots$$

Wenn auf der Hauptdiagonalen der Hesse-Matrix sowohl negative als auch positive Einträge vorhanden sind, ist die Matrix indefinit.

Wenn ein Hauptminor \(=0\) ist, kannst du mit dem Hauptminoren-Kriterium keine Aussage über die Definitheit der Matrix treffen. Sind in diesem Fall aber alle anderen Hauptminoren positiv / negativ oder gleich \(0\), ist die Matrix positiv / negativ semi-definit