Bestimmen Sie M E,B (f) und M B,B (f)

Question

Es seinen E= {e1, e2, e3} und B= {v1,v2,v3} Basen von ℝ³, wobei E die Standardbasis ist und v1= (1, 2, -1) v2=(1,0,1) und v3=(0, 2, -1).

Außerdem sei f∈End(ℝ³) mit

f(v1)= v₁+2v₂-v₃

f(v2)= v₁+2v₃

f(v3)= -v₁+v₂

Bestimmen Sie M E,B (f) und M B,B (f).

Kann mir bitte jemand erklären was ich hier machen muss?

Ich komme leider immer mit Darstellungsmatrizen und Transformationsmatrizen durcheinander und weiß gerade nicht, was ich mit dem Endomorphismus anfangen soll.

Vielen Dank!

Answer 1

Aloha :)

Die Abbildung $f$ ist in der Darstellung gegeben, dass Vektoren bezüglich der Basis $B$ in sie hineingehen und Vektoren bezüglich der Basis $B$ auch aus ihr herauskommen:$$f(\vec v_1)=\vec v_1+2\vec v_2-\vec v_3\implies\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_B\mapsto\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}_B$$$$f(\vec v_2)=\vec v_1+2\vec v_3\implies\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}_B\mapsto\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}_B$$$$f(\vec v_3)=-\vec v_1+\vec v_2\implies\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_B\mapsto\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}_B$$Da die Spalten der Abbildungsmatrix die Bilder der Basisvektoren sind, haben wir damit schon eine Matrix bestimmt:$$M_{B,B}(f)=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1\\2 & 0 & 1\\-1 & 2 & 0\end{array}\right)$$

Nun soll noch die Matrix $M_{E,B}$ angegeben werden. Sie erwartet rechts Eingangsvektoren bezüglich der Basis $B$ und liefert links Ausgangsvektoren bezüglich der Basis $E$. Da die drei Basisvektoren von $B$ in Koordinaten bezüglich der Standardbasis $E$ angegben sind, kennen wir die Transformationsmatrix von $B$ nach $E$:$$\mathrm{id}_{E,B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\2 & 0 & 2\\-1 & 1 & -1\end{array}\right)$$und können mit ihr das Ergebnis von $M_{B,B}(f)$ in die Basis $E$ transformieren:$$M_{E,B}(f)=\mathrm{id}_{E,B}\cdot M_{B,B}(f)=\left(\begin{array}{rrr}3 & 1 & 0\\0 & 6 & -2\\2 & -3 & 2\end{array}\right)$$

Comments

$f(\vec v_1)=\vec v_1+2\vec v_2-\vec v_3\implies\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_B\mapsto\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}_B$

Vielen Dank schonmal, das ergibt Sinn!
Eine kurze Rückfrage noch da ich gerade etwas verwirrt bin. Du sagst Vektoren bezüglich B gehen in die Abbildung und werden auch wieder ausgegeben, aber wieso setzt du hier dann die Vektoren aus E in die Abbildung ein ?

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Ich habe den Vektor $\vec v_1$ nicht in der E-Darstellung eingesetzt. Das Bild von $\vec v_1$ bezüglich der Basis $B$ hat nur zufällig dieselben Koordinaten in $B$ wie $\vec v_1$ in E hat.

$$f(\vec v_1)=\vec v_1+2\vec v_2-\vec v_3=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_B+2\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}_B-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_B=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}_B$$

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Vielen lieben Dank, jetzt verstehe ich es!

Noch eine Ergänzungsfrage: In einer weiteren Teilaufgabe ist nach M_B,B(f²) gefragt.

Wird die Lösung durch die jetzt schon bestimmte M_B,B(f) irgendwie direkt ersichtlich oder was müsste man dafür dann noch rechnen ?

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Wenn mit $f^2$ die Hintereinanderausführung der Funktion gemeint ist, gilt:$$M_{B,B}(f^2)=M_{B,B}(f)\cdot M_{B,B}(f)$$