Simultan diagonalisierbar wenn Matrizen kommutieren

Question

Ich möchte zeigen, dass zwei Matrizen A und B simultan diagonalisierbar sind, wenn sie kommutieren

Angenommen A und B kommutieren, d.h. AB=BA dann ist zu zeigen dass für D_A = S^-1AS ; D_B = T^-1BT S=T gelten muss

Diagonalmatrizen kommutieren offensichtlich d.h.:  D_A D_B = D_B D_A   <-->  S^-1AS  T^-1BT = T^-1BT S^-1AS  kann man daraus irgendwie folgern, dass S=T gelten muss?

Comments

dass für DA = S-1AS ; DB = T-1BT S=T gelten muss

Das ist nicht korrekt. Man muss zeigen, dass ein invertierbares S existiert s.d. S^(-1)AS und S^(-1)BS diagonal sind.

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Ist das nicht, dass selbe wie das, was ich zeigen möcht?. Wenn man A mit S diagonalisieren kann und die Matrix B mit T diagonalisieren kann, möchte ich zeigen, dass S=T.

Oder sind die Basiswechselmatrizen mit denen ich diagonalisiere nicht eindeutig, was bedeutet dass S ungleich T sein kann, jedoch eine andere invertierbare Matrix (nennen wir U) existiert, sodass U^(-1)AU Diagonalform und U^(-1)BU Diagonalform hat?

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Ja genau, die sind nicht eindeutig. Wenn \( S^{-1}AS = D \), dann gilt z.B. auch für jeden Skalar \( \lambda \) bereits \( (\lambda S)^{-1}A(\lambda S) = D \).

Ein Endomorphismus ist diagonalisierbar, wenn er eine Basis aus Eigenvektoren hat. Die Koordinaten der Basisvektoren schreibt man dann in die Spalten von \(S\). Die Gesamtbasis ist ja aber gerade die Vereinigung der Basen aller Eigenräume. Und letztere sind nicht eindeutig. Die kannst du gemäß Austauschsatz oÄ modifizieren und erhältst so andere Basen und dementsprechend auch andere Transformationsmatrizen.

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Alles klar, das macht Sinn, vielen Dank. Wenn man überprüfen möchte ob, zwei Matrizen A und B simultan diagonalisierbar sind, kann der Satz der Hauptachsentransformation benutzt werden, in dem man überprüft ob A die Matrix einer Bilinearform ist und B die Fundamentalmatrix eines Skalarprodukts. Gibt es auch ein allgemeines Verfahren mit dem man die Basis, bzw. das invertierbare S bestimmen kann, mit dem sich A und B in Diagonalform bringen lassen?