Zeigen Sie: Dann ist auch En −BA invertierbar, und es ist (En −BA)^(−1) = En +B(En −AB)^(−1) A.

Question

Aufgabe:

Es seien A, B ∈ MatK(n, n). Weiter sei En − AB invertierbar.
Zeigen Sie: Dann ist auch En −BA invertierbar, und es ist

(En −BA)^(−1) = En +B(En −AB)^(−1) A.

Answer 1

Dazu musst du doch nur nachrechnen, dass

(En −BA)( En +B(En −AB)^(−1) A )  =  En gilt.

Etwa so:

(En −BA)( En +B(En −AB)^(−1) A )

= (En −BA)*En +(En −BA)*B*(En −AB)^(−1) *A )

= En −BA*En +(En*B −BA*B)*(En −AB)^(−1) *A )

= En −BA*En +(B*En−BA*B)*(En −AB)^(−1) *A )

= En −BA*En +B(En−A*B)*(En −AB)^(−1) *A )

= En −BA*En +B*En*A

= En −BA +BA

= En      q.e.d.