Berechne die Bildpunkte von A,B,C,D

Question

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5 Eine Abbildung \( \alpha \) im \( \mathbb{R}^{2} \) mit \( \alpha(\vec{x})=A \cdot \vec{x}+\vec{c} \) bildet \( O(0 \mid 0) \) auf \( O^{\prime}(0 \mid 0), P(2 \mid 4) \) auf \( P^{\prime}(4 \mid 2) \) und \( Q(-2 \mid 5) \) auf \( Q^{\prime}(-3 \mid 6) \) ab.
a) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung für diese Abbildung.
b) Gegeben ist das Quadrat \( A B C D \) mit \( A(1 \mid 0), B(5 \mid 0) \) und \( C(5 \mid 4) \). Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D. Berechnen Sie anschließend die Bildpunkte von A, B, C und D. Zeichnen Sie die Vierecke ABCD und A'B'C'D'. Untersuchen Sie, ob das Bildviereck ebenfalls ein Quadrat ist.

Aufgabe:

Berechne die Bildpunkte von A,B,C,D

Problem/Ansatz:

Ich habe die Punkte A(1|0), B(5|0), C(5|4) gegeben. Zuerst sollte ich den Punkt D berechnen. Dabei kam ich auf D(1|4).

Nun soll ich die Bildpunkte berechnen und ich weiß nicht genau wie ich das machen soll.

Answer 1

Zuerst sollte ich den Punkt D berechnen.

Nein, das solltest du erst in Aufgabe b) tun.

Vorher solltest du in Teilaufgabe a) die Abbildungsvorschrift ermitteln.

Erleichternd ist hierbei, dass (0|0) auf (0|0) abgebildet wird und demzufolge \( \vec{c} \) der Nullvektor ist.

Bestimme also die Matrix \( A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), für die

\( A\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\)

und

\( A\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ 6 \end{pmatrix}\) gilt.