+1 Daumen
2,2k Aufrufe

Ich habe eine Frage, Wenn die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie die Matrix M der linearen Abbildung des R3 in sich, die den Punkt A1 auf den Punkt A2 , den Punkt B1 auf den Punkt B2 und den Punkt C1 auf den Punkt C2 abbildet.

A1 (1/0/0) A2 (0/2/0) B1 (0/2/0) B2 (0/4/0) C1 (0/0/3) C2 (0/0/6)

Wie kann man hier vorgehen? Ich hätte gerechnet: Abbildungsmatrix * A1 = A2
Und dann alle zusammenaddiert.
Geht das so oder muss man das anders berechnen? Ich weiß, dass diese Punkte alle mit 2 multipliziert, aber das ist ja nicht immer so, deswegen hätte ich das gerne allgemeiner.
Danke schonmal!
von

2 Antworten

+1 Daumen

Deine Abbildungsmatrix ist ja eine 3x3 Matrix der Form :
a b c

d e f

g h i



"Wie kann man hier vorgehen? Ich hätte gerechnet: Abbildungsmatrix * A1 = A2
Und dann alle zusammenaddiert. "

Der Anfang ist richtig. Rechne Matrix mal Vektor und schreibe mal die Multiplikation aus.

(Für A1 z.b.

1a=0

1d=2

1g=0

Mache das für die anderen Vektoren auch und du erhältst insgesamt 9 Gleichungen. Du kannst dir dann jeweils 3 Gleichungen nehmen und diese in ein LGS packen und anschließend die Koeffiezienten ausrechen.

von 8,8 k

Es tut mir Leid!

A2 ist (2/0/0)

Und wie kommst du auf 1a, warum nicht z.B 2a?


Danke schonmal!

Wäre das nun so richtig? : Bild Mathematik
Nein. Wie gesagt,habe ich die Matrix mit dem Vektor multipliert :
Nocheinmal:
Du hast die Matrix A:
$$A=\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$$

Jetzt weißt du,dass gilt :
A* A1= A2


Schreiben wir das mal aus :

$$\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}*\quad \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

$$ \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}*\quad \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+0b+0c \\ d+0e+0f \\ g+0e+0f \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Deine ersten 3 Gleichungen sind richtig,bei den anderen musst du nochmal nachrechnen.

Alles klar.
Dann bekomme ich für A*B1=B2 und bei A*C1=C2 auch eine 3x3 Matrix raus.

Kann ich diese 3 Matrizen dann einfach zusammenaddieren?
Und noch eine Frage:
Ich habe das auch mal so gerechnet für:
(1/0/0) wird abgebildet auf (0/1/1)
Nur da komme ich dann auf ganz komische Gleichungssysteme.

Warum?
Du hast dann doch :

a=0

d=1

g=1

Kann ich diese Matrizen von meiner Ursprungsaufgabe  dann addieren?


Aber andersrum ginge es doch nicht..

Denn dann käme ja raus:


a + b = 1

Andersrum?
Warum willst du die addieren?

Weil ich ja eine Abbildungsmatrix bestimmen sollte, die für alle Abbildungen der Punkte gilt.
Also A* A1 = A2A*B1=B2A*C1=C2
Und diese As dann addieren, denn dann komme ich auch auf die Lösung, die mir vorgegeben wurde.
Ich glaube nicht,dass man damit auf das Ergebnis kommt. Das Verfahren ist mir zumindest nicht bekannt.
Mach es doch mal so wie ich es vorgeschlagen habe:
Matrix*A1=A2
Matrix*B1=B2
Matrix*C1=C2

Dann hast du jeweils 3 Gleichungen.
Nehme jetzt jeweils die 1. von allen drei Gleichungen und packe sie in ein LGS. Dann hast du 3 Gleichungen,die die Variablen a,b,c enthalten.
Das kannst du dann auflösen.

Jetzt nehme jeweils die 2. von allen drei Gleichungen und packe sie in ein LGS. Du kannst jetzt d ,e,f erhalten.
Das selbe auch für die 3. Zeile und du hast auch g,h,i.

Dann einfach die Koeffizienten in die Matrix schreiben und fertig.
Jetzt habe ich es kapiert. Und das kann man immer so anwenden?
Wäre dann die Lösung für:0/0/1 abgebildet auf 0/1/11/1/0 abgebildet auf 0/0/10/1/1 abgebildet auf 1/1/0
A B CA = -1B = 1C = 0
Nur um zu sehen, ob ich nun verstanden habe.
Dankeschön!

Ja genau.

Ich würde aber an deiner Stelle a,b,c als Kleinbuchstaben schreiben. Mit großen Buchstaben sind gewöhnlich Matrizzen oder Mengen gemeint.

Danke für den Tipp.

Jetzt habe ich alles verstanden!

Vielen

0 Daumen

In den Spalten der Abbildungsmatrix stehen die Bildvektoren der Basiseinheitsvektoren.

Wenn du das gelernt hast, kannst du die Matrix hier praktisch sofort hinschreiben.

A1 (1/0/0) A2 (0/2/0) 

1. Spalte der Matrix (0|2|0)

B1 (0/2/0) B2 (0/4/0) Wegen Linearität folgt

D1 (0|1|0) D2 (0| 2| 0)

Daher 2. Spalte der Matrix (0|2|0)

C1 (0/0/3) C2 (0/0/6) hier folgt

E1(0|0|1) E2(0|0|2)

3. Spalte also (0|0|2)

Nun die Spalten nebeneinander hinstellen:

M = 

[ 0 0 0

 2 2 0

0 0 2]

Wegen 

"Es tut mir Leid!

A2 ist (2/0/0)"

ergibt sich analog

M = 

[ 2 0 0

 0 2 0

0 0 2]

von 162 k 🚀

Vielen Dank Lu, das weiß ich, aber das geht nun mal nicht immer, deswegen wollte ich einen allgemeineren Rechenweg. :)

Bitte. Dann ist ja jetzt alles geklärt.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community