Flächenintegral und Volumenintegral

Question

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Aufgabe 1: (10 Punkte/15 Punkte)
a) Bestimmen Sie für den unten abgebildeten Halbkreisring das Flächenintegral

$\int \limits_{A}(x+y) d A .$

b) Bestimmen Sie für den unten abgebildeten Quader das Volumenintegral

$\int \limits_{V} x y z^{2} d V$

Abbildung 1: a) Halbkreisring b) Draufsicht Quader c) Ansicht Quader

Problem/Ansatz:

Das ist eine Probeklausur Aufgabe.. kann das irgendjemand evtl.lösen? Ich würde euch auch dafür vergüten..

Comments

Hallo

Es wäre besser, du probierst das selbst und jemand hier korrigiert. denn ähnliches hattet ihr ja schon in korrigierten Übungen. Sag was du nicht kannst. Grenzen? Integrale?

Sehen wo man besser Polarkoordinaten benutzt? wie in a?

Gruß lul

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Ich lerne um ehrlich zu sein besser, wenn ich Lösungen habe und diese nachvollziehen kann..

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Glaub ich nicht, denn das hast du ja in der Klausur nicht, und genau die Aufgaben kommen nicht,

aber vielleicht hat ja jemand anders Lust. ich mach die Frage wieder unbeantwortet.

lu

Answer 1

Aloha :)

zu a) Halbkreisring

Hier bietet sich die Berechnung in Polarkoordinaten an. Der Radius liegt zwischen 3cm und 5cm, also ist $r\in[3;5]$. Der Polarwinkel muss die Halbkreise überstreichen, also ist $\varphi\in[0;\pi]$. Damit haben wir folgende Substitution von $(x;y)$ nach $(r;\varphi)$:$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[3;5]\quad;\quad\varphi\in[0;\pi]$$

Das Flächenelement $dA=dx\,dy$ wird durch den Übergang zu Polarkoordinaten verzerrt. Wenn sich der Radius um $dr$ ändert und der Polarwinkel um $d\varphi$, entsteht ein kleines Kreissegment mit der Länge $dr$ und der Breite $r\,d\varphi$. In infinitesimaler linearer Näherung ist daher:$$dx\,dy=dA=r\,d\varphi\,dr=r\,dr\,d\varphi$$

Damit formulieren wir das gesuchte Integral:$$I=\int\limits_A(x+y)\,dA=\int\limits_{r=3}^5\;\,\int\limits_{\varphi=0}^\pi(\underbrace{r\cos\varphi}_{=x}+\underbrace{r\sin\varphi}_{=y})\,\underbrace{r\,dr\,d\varphi}_{=dA}=\int\limits_{r=3}^5r^2\,dr\int\limits_{\varphi=0}^\pi(\cos\varphi+\sin\varphi)\,d\varphi$$$$\phantom I=\left[\frac{r^3}{3}\right]_{r=3}^5\cdot\left[\sin\varphi-\cos\varphi\right]_{\varphi=0}^\pi=\left(\frac{5^3}{3}-\frac{3^3}{3}\right)\cdot\left(1-(-1)\right)=\frac{196}{3}=65,\overline3$$

zu b) Quader

Aus der Skizze (b) lesen wir $x\in[0;2]$ und $y\in[0;3]$ und aus (c) folgt $z\in[0;4]$.

Damit können wir das Integral direkt formulieren:$$I=\int\limits_V xyz^2\,dV=\int\limits_{x=0}^2\;\int\limits_{y=0}^3\;\int\limits_{z=0}^4xyz^2\,dx\,dy\,dz=\int\limits_{x=0}^2x\,dx\int\limits_{y=0}^3y\,dy\int\limits_{z=0}^4z^2\,dz$$$$\phantom I=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2\cdot\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^3\cdot\left[\frac{z^3}{3}\right]_0^4=2\cdot\frac92\cdot\frac{64}{3}=192$$

Comments

Ich danke dir vielmals für deine Mühen. Das ist echt nett das so ausführlich zu machen ..

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Darf ich dich was fragen? Wenn statt (x+y) dort (2x-y) steht und ich es so mache wie du es erklärst, kriege ich dasselbe ergebnis nur negativ raus. Ist das korrek?

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Ja, das ist richtig.

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Danke dir nochmals ! :)

Answer 2

Bei a) ist es sicher besser, x+y als r(cos φ + sinφ) zu schreiben und das Doppelintegral mit dr und dφ zu lösen.

r geht von 3 bis 5 und φ von 0 bis π.

b) wird wohl ein Dreifachintegral werden.

Übrigens glaube ich dir nicht, dass das nur Übungsaufgaben sind, an denen du gern lernen möchtest.

Dein

Ich würde euch auch dafür vergüten..

aus der Überschrift lässt mich sehr an deinen hehren Zielen zweifeln.

Comments

Ergänzung: Vergiss nicht die Funktionaldeterminante beim Übergang zu Polarkoordinaten.

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Geld stinkt nicht. Es ist ökonomisch vernünftig, für etwas zu bezahlen, wenn man es sich leisten kann.

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Das Geld ist nicht das, was stinkt...

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Pecunia non olet !

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...sprach der Hinkelsteinproduzent, und erhöhte die Preise. Beim Teutates!

(ich bin heute tatsächlich an Hinkelsteinen vorbeigegangen).

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Ob du es glaubst oder nicht, ich lerne nun mal besser wenn ich auf korrekte Lösungen zurückgreifen kann, während ich versuche die Aufgabe nachzuvollziehen.
Und dass ich Geld zahle dafür ist weil ich weiß, dass ich niemand bin der Leute um Ihre Zeit bringen will.