Exponentialgleichung lösen (ggf. mit TR)

Question

3^(x+5) * 4^(x+2) = 2*6^(x+5)
Wie komme ich auf x?

ich habe erstmal 12^(2x+7) = 12 ^(x+5) berechnet
wie gehe ich jetzt weiter vor?
und kann man das irgendwie mit dem Taschenrechner lösen?

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\( 3^{x+5}*4^{x+2}≠12^{2x+7} \)

\(2*6^{x+5}≠12^{x+5} \)

Answer 1

6^(x+5) = 3^(x+5)*2^(x+5)

4^(x+2) = 2^(2x+4)

-> 3^(x+5)*2^(2x+4) = 2*3^(x+5)*2^(x+5)

2^(2x+4) = 2*2^(2x+5)

2^(2x+4)/2^(x+5) = 2

2^(x-1) = 2^1

x-1 = 1

x = 2

Comments

Sehr schön.                  .

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Den Tag werde ich im Kalender anstreichen.

Das hätte ich von Ihnen nicht erwartet.

Oder war es nur ironisch gemeint?

Answer 2

Mit den Potenzgesetzen kommt man auf x = 2.

Taschenrechner ist nicht erforderlich.

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wie muss ich weiter vorgehen?

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3^(x+5) * 4^(x+2)                 = 2 * 6^(x+5)                                        faktorisieren

3^(x+5) * 2^(x+2) * 2^(x+2)  = 2 * 2^(x+5) * 3^(x+5)                        / 3^(x+5)

2^(x+2) * 2^(x+2)                 = 2^(x+6)                                             / 2^(x+2)

2^(x+2)                                 = 2^4                                                    log₂

x+2                                       = 4                                                      - 2

x                                           = 2

Answer 3

\( 3^{x+5}*4^{x+2}=2*6^{x+5} \)

\( 3^{x}*3^{5}*4^{x}*4^{2}=2*6^{x}*6^{5}    |:2 \)

\( 3^{x}*3^{5}*4^{x}*2^{3}=(2*3)^{x}*(2*3)^{5}     \)

\( 3^{x}*3^{5}*4^{x}*2^{3}=2^{x}*3^{x}*2^{5}*3^{5}   |: 3^{5}  \)

\( 3^{x}*4^{x}*2^{3}=2^{x}*3^{x}*2^{5}    |: 2^{3}  \)

\( 3^{x}*4^{x}=2^{x}*3^{x}*2^{2}   |:3^{x}   \)

\( (2*2)^{x}=2^{x}*2^{2}   \)

\( 2^{x}*2^{x}=2^{x}*2^{2}  \)

\( 2^{x}=2^{2}  \)

\( x=2  \)

Answer 4

Aloah :)

$$3^{x+5}\cdot4^{x+2}=2\cdot6^{x+5}\quad\big|a^{b+c}=a^b\cdot a^c$$$$3^5\cdot3^x\cdot4^2\cdot4^x=2\cdot6^5\cdot6^x\quad\big|\div3^5$$$$3^x\cdot\red{4^2}\cdot4^x=2\cdot\green{\frac{6^5}{3^5}}\cdot6^x\quad\bigg|\red{4^2=16=2^4}\;\land\;\green{\frac{6^5}{3^5}=\left(\frac63\right)^5=2^5}$$$$3^x\cdot\red{2^4}\cdot4^x=2\cdot\green{2^5}\cdot 6^x\quad\big|\div{\red{2^4}}$$$$3^x\cdot4^x=\frac{2\cdot\green{2^5}}{\red{2^4}}\cdot6^x\quad\bigg|\frac{2\cdot\green{2^5}}{\red{2^4}}=\frac{2^{1+5}}{2^4}=\frac{2^6}{2^4}=2^2$$$$3^x\cdot4^x=2^2\cdot6^x\quad\big|\div6^x$$$$\frac{3^x\cdot4^x}{6^x}=2^2\quad\bigg|\frac{3^x\cdot4^x}{6^x}=\left(\frac{3\cdot4}{6}\right)^x=2^x$$$$2^x=2^2\quad\big|\text{Vergleich der Exponenten}$$$$x=2$$