Habe ich es richtig verstanden, dass die harmonische Reihe nicht immer divergiert?

Question

Habe ich es richtig verstanden, dass die (konvergente) harmonische Reihe nicht immer divergiert?
Also konkret, dass sie bei 1/k divergiert, aber bei 1/k^<=2 konvergiert?

Und kann es sein, dass die Begriffe Konvergenz und Divergenz bei Reihen eine andere Bedeutung haben, als bei Folgen?

Bei Folgen ist es ja so, wenn ein Grenzwert vorhanden ist, dann konvergiert eine Folge (andernfalls divergiert sie).

Aber bei Reihen scheinen ja Konvergenz und Divergenz was anderes zu bedeuten, da die Reihe 1/k ja streng genommen auch "konvergiert" da, wenn das k immer größer wird (also gegen unendlich geht), bei 1/k eine 0 rauskomt.

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SORRY, SOLLTE NATÜRLICH LAUTEN:

Habe ich es richtig verstanden, dass die harmonische Reihe nicht immer divergiert?

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Könnte das jemand bitte in der ersten Zeile sowie im Titel korrigieren?

Answer 1

Hallo

der Satz " dass die konvergente Reihe nicht immer divergiert" ist irgendwie sinnlos

konvergent ist das Gegenteil von divergent, also divergiert eine konvergente Reihe nicht. Du meinst wohl die harmonische Reihe, die divergiert, dass 1\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{1/n^r} \) für r>1 konvergiert muss man beweisen ist aber richtig.

die Konvergenz von Reihen und folgen ist das selbe, wenn du die Reihen als Folgen von Summen bis n ansiehst und dann n->oo.

Damit eine Reihe konvergiert, ist es notwendig (aber nicht hinreichend,) dass die Summanden eine Nullfolge bilden

Gruß lul

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