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a) Sei α > 0. Zeigen Sie mit dem Minorantenkriterium, dass die allgemeine harmonische Reihe ∑n=1∞  1/nα 

für 0 < α < 1 divergent ist.


b) Zeigen Sie, dass die Reihe ∑n=1   1/(√(n(n+1))) divergiert.

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a)

Sei \(0<\alpha<1\). Für alle \(n\in\mathbb{N}\) ist dann \(n^{\alpha}\leq n^{1} = n\) und damit \(\frac{1}{n^{\alpha}}\geq\frac{1}{n}\).

Damit ist \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}\geq\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\infty\text{.}\)

Das bedeutet: Die allgemeine harmonische Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}\) für \(0<\alpha<1\) divergiert nach Minorantenkriterium, da man die harmonische Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) als divergente Minorante findet.

b)

Für alle \(n\in\mathbb{N}\) ist \(\sqrt{n\cdot(n+1)}\leq\sqrt{(n+1)\cdot(n+1)}=\sqrt{(n+1)^2}=n+1\) und damit \(\frac{1}{\sqrt{n\cdot(n+1)}}\geq\frac{1}{n+1}\).

Damit ist \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n\cdot(n+1)}}\geq\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n}=-1+\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}_{=\infty}=\infty\text{.}\)

Das bedeutet: Die Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n\cdot(n+1)}}\) divergiert nach Minorantenkriterium.

Alternativ kann man bei Teilaufgabe b) beispielsweise auch folgendermaßen abschätzen: \(\begin{aligned}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n\cdot(n+1)}}&\geq\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n\cdot(n+n)}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n\cdot2n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2n^2}}\\&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2}\cdot n}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}_{=\infty}=\infty\end{aligned}\)

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