kein Untervektorraum,Basis und Vekorraum bestimmen

Question

Aufgabe:

(Untervektorräume, Basis)

Gegeben seien die \( \mathbb{R} \)-Vektorräume
\(U=\left\{p \in \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}): p(1)=p(-1)\right\} \quad \text { und } \quad V=\left\{p \in \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}): p^{\prime}(0)=0\right\} .\)
(a) Begründen Sie, weshalb \( U \cup V \) kein Unterraum von \( \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) \) ist.
(b) Bestimmen Sie eine Basis von \( U \cap V \).
(c) Bestimmen Sie einen Vektorraum \( W \) sodass \( W \oplus(U \cap V)=V \) ist, etwa durch Angabe einer Basis.

Answer 1

Ein Polynom aus \(P_4\) hat die Form \(p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\). Ein solches Polynom liegt in U genau dann, wenn

$$p(1)=a+b+c+d+e=p(-1)=a-b+c-d+e \iff b+d=0$$

Ein solches Polynom liegt in V genau dann, wenn \(p'(0)=d=0\).

Nun gilt: Das Polynom \(p(x):=x^3-x\) liegt in \(U \sub U \cup V\). Das Polynom \(q(x):=x^3\) liegt in \( V \sub U \cup V\).

Aber das Polynom \((p+q)(x)=2x^3-x\) liegt weder in U noch in V also nicht in \(U \cup V\)

Zu b): Ein Polynom aus \(P_4\) liegt in \(U \cap V\) genau dann wenn (s.o.) d=0 und b=0. Eine Basis dafür ist also \((1,x^2,x^4)\). Eine ergänzende Basis für W ist dann \((x,x^3)\)