Bestimmen Sie die Determinante der Matrix A_{\lambda} .

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es sel
\( A_{\lambda}=\left(\begin{array}{llll} \lambda & 0 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 & 4 \end{array}\right) \quad \text { mit } \lambda \in \mathbb{R} \)
(a) Bestimmen Sie die Determinante der Matrix \( A_{\lambda} \).
\( \operatorname{det} A_{\lambda}= \)
(b) Für welche \( \lambda \in \mathbb{R} \) hat das Gleichungssystem \( A_{\lambda} x=0 \) mehr als eine Lösung?

Problem/Ansatz:

LGS mit Parameter, ich habe b) nicht verstanden

Comments

Die Determinante der Matrix ist ein Polynom in λ vom Grad höchstens 1. Das sieht man direkt ein, wenn man an die Leibniz Formel denkt.

Darüber hinaus sieht auch, dass für λ=4 die erste und dritte Zeilen Vielfachen voneinander sind. Also dort ist die Determinante =0

Die Determinante hat somit die Form a*(λ-4) mit einer ganzen Zahl a.

Man muss also nicht mal die a) gelöst haben um zu argumentieren, dass bei b) die Antwort λ=4 sein muss

Answer 1

b) Das ist genau dann der Fall, wenn die Determinate aus a)

den Wert 0 hat.  Du musst also das Erg. von a)   ==   setzen

und nach Lambda auflösen.