Wie kann ich dieses Integral mithilfe einer Potenzreihe lösen?

Question

Aufgabe: Wie kann ich dieses Integral mithilfe einer Potenzreihe lösen?

Text erkannt:

\( \int \frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x} \mathrm{~d} x \)

Problem/Ansatz:

Die Basis einer Potenzreihe ist ja 1/(1-x) = Summenzeichen xⁿ oder? Wie kann ich die Funktion umwandeln?

Answer 1

Die Basis einer Potenzreihe ist ja 1/(1-x) = Summenzeichen xn oder?

Nein, es geht hier nicht um die Summe einer geometrischen Reihe.

Nimm die Taylorreihe von e^x, subtrahiere 1 und dividiere den erhaltenen Term durch x.

Comments

Aber wie kann ich die reihe von e^x ableiten? Da ist Fakultät mit drin?

Answer 2

Nachdem du es so gemacht hast, wie abakus
vorschlug, kannst du das Integral durch
gliedweise Integration der Potenzreihe berechnen

Comments

Aber wie kann ich die reihe von e^x ableiten? Da ist Fakultät mit drin?

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1!, 2!, 3! usw sind doch einfach nur konstante Zahlen (1; 2; 6; usw.). Da diese Fakultäten im Nenner stehen, sind diese Faktoren eigentlich 1/1; 1/2; 1/6 usw.

Hast du damit wirklich ein Problem??

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Ach sorry ich meinte "aufleiten". Ich wandle ja e^x in eine Reihe um (xⁿ/n!). Und muss die Reihe dann noch integrieren? Wie geht das?

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Kannst du Teilterme wie x, x², x³, x⁴ usw. nicht integrieren (und anschließend mit Faktoren wie 1/1, 1/2, 1/6 versehen)??