Konvergenz mit Subtraktion

Question

Aufgabe:

Prüfen Sie die Folge an: $$\frac{n^3+1}{n^2+5n}-\frac{n^4+4}{n^3+2n^2}$$ konvergiert und berechnen Sie gegebenfalls den Grenzwert.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie man da jetzt starten und vorgehen muss, wenn 2 Teile bei Konvergenzfragen subtrahiert werden.

Vielleicht kann mir da jemand helfen und zeigen wie man bei sowas vorgeht.

Answer 1

Bilde den Hauptnenner und kürze mit der höchsten Potenz von n.

Answer 2

Aloha :)

$$a_n=\red{\frac{n^3+1}{n^2+5n}}-\green{\frac{n^4+4}{n^3+2n^2}}=\frac{\red{(n^3+1)}\green{(n^3+2n^2)}-\green{(n^4+4)}\red{(n^2+5n)}}{\red{(n^2+5n)}\green{(n^3+2n^2)}}$$$$\phantom{a_n}=\frac{(n^6+n^3+2n^5+2n^2)-(n^6+4n^2+5n^5+20n)}{n^5+5n^4+2n^4+10n^3}=\frac{-3n^5+n^3-2n^2-20n}{n^5+7n^4+10n^3}$$$$\phantom{a_n}=\frac{\pink{\frac{1}{n^5}}\cdot\left(-3n^5+n^3-2n^2-20n\right)}{\pink{\frac{1}{n^5}}\cdot\left(n^5+7n^4+10n^3\right)}=\frac{-3+\frac{1}{n^2}-\frac{2}{n^3}-\frac{20}{n^4}}{1+\frac7n+\frac{10}{n^2}}\stackrel{(n\to\infty)}{\to}\frac{-3+0-0-0}{1+0+0}=-3$$