Abbau von Zahlen - Wie erreiche ich durch Subtraktion von ungeraden Zahlen die Null?

Question

Aufgabe:

Baue die Zahl 100 durch sukzessive Subtraktion von ungeraden Zahlen 1,3,5,7,... ab:

100	-1	99
99	-3	96
96	-5	91
91	-7	84
...	-9	...

a) Erreichst du Null ?

-> Meine Antwort: Nein, denn ich lande bei der 1 und soll davon 19 abziehen.

b) Probiere von 50 aus

-> Schlägt wieder fehl, denn ich lande bei 1 und soll davon 15 abziehen.

c) Von welchen Zahlen aus erreichst du 0 ?

-> Von 1 ziehe ich 1 ab und erhalte 0. Gibt es mehr ?

Problem/Ansatz:

Ich habe unter den Teilaufgaben a und b die Rechnungen vollständig aufgelistet und erreiche immer 1 am Schluss.

Bei Frage c erkannte ich, dass wenn ich von der Zahl 1 starte, der erste Minuend ebenfalls 1 ist, so erreiche ich 0.

Ich vermute, dass der Zusammenhang gilt: Gleiches - Gleiches = Null. Diesen erreiche ich, wenn ich eben starte mit 1 und -1 subtrahiere.

Frage:

Da im Buch geschrieben steht Zahlen glaube ich, dass es noch mehr geben muss.

Gibt es das? Kann mir das jemand erklären ?

Answer 1

a) Erreichst du Null ?

100 - 1 - 3 - 5 - 7 - 9 - 11 - 13 - 15 - 17 - 19 = 0

Was hast du denn dort gerechnet? Würdest du das mal bitte vorrechnen?

b) Probiere von 50 aus

Wir erhelten einen Rest von 1

c) Von welchen Zahlen aus erreichst du 0 ?

Probiere mal die Zahlen 1^2, 2^2 = 4, 3^2 = 9, 4^2 = 16, ...

Erkläre warum es dort genau aufgeht.

Comments

75 - 11 = 64

... - 13 = 51

... - 15 = 36

... - 17 = 19

19 - 19 = 1

Vielen Dank vorerst für deine Antwort. Ok ich sehe glaube ich den Fehler, ich hatte 19 - 18 gerechnet, also nicht eine negative Zahl abgezogen.

Frage:

Ich sehe dass...

-19 -1 = 20

-17 -3 = 20

-15 -5 = 20

-13 -7 = 20

-11 -9 = 20

gibt. Es wird von 100 also 5*20 abgezogen, was auch 100 gibt. Wie feinde ich heraus, von welchen Zahlen das alles funktioniert? :-)

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Ok ich sehe glaube ich den Fehler, ich hatte 19 - 18 gerechnet, also nicht eine negative Zahl abgezogen.

Du meinst ungerade statt negative.

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Wie feinde ich heraus, von welchen Zahlen das alles funktioniert? :-)

Lies bitte meine Antwort zu c).

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Vielen Dank

Das sind die Quadratzahlen.

Eine Quadratzahl ist immer (auch durch) die Summe von 2 ungeraden Zahlen (darstellbar).

---> Obige Ausführung ist falsch, denn eine gerade Zahl ist immer durch die Summe zweier ungeraden Zahlen darstellbar.

Bsp.:

4 = 3 + 1 dh 4 - 3 - 1 = 0

2. Bsp.:

16 = 9 + 7 oder 4 + 5 + 3 + 2 ... hmm... hier muss ich noch asuprobieren... Aber ich vermute, dass sukzessives Subtrahieren hier funktionieren wird.

16 würde dem Betrag von diesen negativen Zahlen entsprechen: -1, -3, -5, -7

Somit müsste es gehen.

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Also meine Erkenntnis ist:

Damit ich zur Null gelangen kann durch sukzessives "Abbauen" mit ungeraden Zahlen, muss ich bei einer Zahl starten, dessen Betrag dem Betrag der Minuenden entspricht.

Ich finde hier aber noch keinen Zusammenhang zu den Quadratzahlen.

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Mach das Verfahren doch mal mit den ersten 5 Quadratzahlen.

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Hier ein kleines Video

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Ok,

Folgende Erkenntnisse:

1^2 = 1

führt in einem Rechenschritt zu 0.

1 - 1 = 0

2^2 = 4 

führt in zwei Rechenschritten zu 0.

4 - 1 = 3

3 - 3 = 0

3^2 = 9

führt in drei Rechenschritten zu 0.

9 - 1 = 8

8 - 3 = 5

5 - 5 = 0

4^2 = 16

führt in vier Rechenschritten zu 0.

16 - 1 = 15

15 - 3 = 12

12 - 5 = 7

7 - 7 = 0

5^2 = 25

führt in fünf Rechenschritten zu 0.

25 - 1 = 24

24 - 3 = 21

21 - 5 = 16

16 - 7 = 9

9 - 9 = 0

Fazit :

Möglicherweise würde die sechste Quadratzahl in sechs Schritten zu Null führen,

Also die n-te Quadratzahl in n Schritten zu Null führen.

Das heisst, dass die n-te Quadratzahl n solche ungeraden Minuenden braucht.

Stimmt das ?

Ich nehme an, dass dieses Verfahren mit nicht quadratischen Zahlen nicht funktioniert. Ohne es auszuprobieren.

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Das heisst, dass die n-te Quadratzahl n solche ungeraden Minuenden braucht. Stimmt das ?

Ja.

Ich nehme an, dass dieses Verfahren mit nicht quadratischen Zahlen nicht funktioniert. Ohne es auszuprobieren.

Richtig. Mit nicht quadratischen Zahlen funktioniert es nicht.

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Super, vielen vielen Dank ! :-)

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Folgendes habe ich vorhin noch im Skript an einer anderen Stelle gelesen:

Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass Quadratzahlen aus der fortlaufenden Summe von ungeraden Zahlen beginnend bei eins bestehen. Mit dieser Erkenntnis können Sie begründen, dass nur Quadratzahlen mit fortlaufenden ungeraden Zahlen abbaubar sind (100 abbauen, (2) Kap. 5.3).

Das spricht wohl meine Frage und die gestrige Erkenntnis an.

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Ja. Ich glaube ich kenne das Skript. Zumindest tauchte der Satz so oder so ähnlich auch in dem Skript einer befreundeten Lehramtsstudentin auf.

Answer 2

Hallo

was ist wenn du bei 99 anfängst?

kennst du die Summe aller ungeraden Zahlen bis 2n+1 oder 2n-1?

die musst du von der Zahl ja insgesamt abziehen , oder sie aufaddieren dann kommst du zu ner Zahl die geht!

Beispiel  1+3+5+7

           7+5+3+1

         --------------

         8 +8+8+8

also 1+3+5+7=4*8/2=16

nimm die 9 dazu dann hast du immer 10 also 5*10/2=25

Gruß lul

so geht das für die Summe aller ungeraden Zahlen bis 2n-1 vom n =1 an , siehst du die "Formel" alle di so erzeugten Zahlen kannst du auf 0 runterkriegen.

Gruß lul

Comments

Vielen Dank,

Nein, ich kenne die Summe aller ungeraden Zahlen leider nicht.

Ich habe nur erkannt, mithilfe obiger Antwort von Der_Mathecoach, dass ich mit einer Zahl starten muss, deren Betrag dem Betrag der verwendeten Minuenden netspricht, damit ich zur Null gelange.

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Hallo

aber ich habe versucht dir zu sagen wie du die ungeraden Zahlen summieren kannst indem du die Reihe mal von vorn , mal von hinten aufschreibst,

Gruß lul

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Jawohl, vielen Dank lul !

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Hallo

Summe aller ungeraden Zahlen von 1 an ergibt immer ein Quadrat , Schon für die Grundschule verständlich:

lul

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Danke,

Ich sehe bei dem zweiten Feld (4 Punkte) dass die (1) immer noch da ist, es wurden lediglich 3 weitere Punkte hinzugefügt und nicht vollständig um die Eins gelegt, was dazu führt, dass man ein Quadrat bekommt.

Analog wurden nach der Addition von 5 um die Figur mit vier Punkten 5 weitere Punkten Punkte nicht vollständig um die vier gelegt, sodass wieder ein Quadrat entstand.

Das selbe wurde dann mit der Addition von 7 Punkten gemacht.

Also immer von der Rechten Ecke rechts unten nach oben bis zur Ecke oben rechts dann nach links bist zur Ecke oben links. So entsteht das Quadrat, also eine quadratische Zahl. :-)

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Hallo

ja und selbst Grundschüler können sehen, dass das mit +9 also +5+4 und +11 usw immer zu Quadraten führt.

lul