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Aufgabe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der komplexen Potenzreihe

n=022n(1+2i)4n(n+1)(n+3)zn \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{2^{2n}(1 + 2i)^{4n}}{(n+1) (n+3)} z^n} .


Ansatz:

Zur Lösung der Aufgabe soll die Potenzreihe in die allgemeine Form

n=0an(zz0)n \sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_{n} (z - z_0)^n} überführt werden.

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n=022n(1+2i)4n(n+1)(n+3)zn \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{2^{2n}(1 + 2i)^{4n}}{(n+1) (n+3)} z^n}

Dann ist in der Form n=0an(zz0)n \sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_{n} (z - z_0)^n}

an=22n(1+2i)4n(n+1)(n+3) {a_{n} = \frac{2^{2n}(1 + 2i)^{4n}}{(n+1) (n+3)}} und zo=0

Betrachte

anan+1=22n(1+2i)4n(n+1)(n+3)22(n+1)(1+2i)4(n+1)(n+2)(n+4)=22n(1+2i)4n(n+2)(n+4)22(n+1)(1+2i)4(n+1)(n+1)(n+3) |\frac {a_{n}}{a_{n+1}} |= |\frac{\frac{2^{2n}(1 + 2i)^{4n}}{(n+1) (n+3)}}{\frac{2^{2(n+1)}(1 + 2i)^{4(n+1)}}{(n+2) (n+4)}} |= |\frac{2^{2n}(1 + 2i)^{4n}(n+2) (n+4)}{2^{2(n+1)}(1 + 2i)^{4(n+1)}(n+1) (n+3)}|

=22n(1+2i)4n(n+2)(n+4)22n+2(1+2i)4n+4(n+1)(n+3)=(n+2)(n+4)4(1+2i)4(n+1)(n+3)=(n+2)(n+4)41+2i4(n+1)(n+3) = |\frac{2^{2n}(1 + 2i)^{4n}(n+2) (n+4)}{2^{2n+2}(1 + 2i)^{4n+4}(n+1) (n+3)}|=| \frac{(n+2) (n+4)}{4(1 + 2i)^{4}(n+1) (n+3)} |= \frac{(n+2) (n+4)}{4|1 + 2i|^{4}(n+1) (n+3)}
=(n+2)(n+4)454(n+1)(n+3)=1425(n+2)(n+4)(n+1)(n+3) = \frac{(n+2) (n+4)}{4\sqrt{5}^{4}(n+1) (n+3)} = \frac{1}{4\cdot25} \cdot \frac{(n+2) (n+4)}{(n+1) (n+3)}

Also Konvergenzradius 0,01. Denn der 2. Faktor hat für n gegen unendlich den Grenzwert 1.

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Setze y=4(1+2i)4zy=4(1+2i)^4z. Dann geht die z-Potenzreihe in die

y-Potenzreihe 1(n+1)(n+3)yn\sum \frac{1}{(n+1)(n+3)}y^n über.

Diese hat den Konvergenzradius 1 (Quotientenformel).

Daher gilt Konvergenz für 4(1+2i)4z<1|4(1+2i)^4z| < 1, d.h.

454z<14\cdot \sqrt{5}^4 \cdot |z|<1, also z<1/100|z|<1/100.

Damit isr R=1/100R=1/100.

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