Normalverteilte Zufallsvariable durch Funktion ausdrücken

Question

Kann mir bei dieser Aufgabe helfen?

Es sei X eine μ-σ - normal verteilte Zufallsvariable. Drücken Sie mit der Funktion φ aus:

a) P( X≥ a)=

b) P ( | X | ≤ 1)=

c) P ( | X - μ | ≥ ε)=

Danke im Vorfeld!

Comments

Ist φ die Dichte oder meinst du die Verteilungsfunktion Φ?

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Keine Ahnung, mehr Angabe hab ich nicht. Ich hatte gehofft jemand kann mir sagen was damit gemeint ist und wie ich durch φ eine Funktion ausdrücke. :/

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Naja, das Problem ist: Einmal existiert die Verteilungsfunktion und die Dichte der Normalverteilung. Wenn tatsächlich klein phi gemeint ist, dann musst du die Wahrscheinlichkeit als Integral deiner Dichtefunktion ausdrücken. Das bedeutet, du musst deine Integralgrenzen so wählen, dass du entsprechend die Wahrscheinlichkeit deines Ausruckes der Zufallsvariable erhältst.

Im Beispiel a) wäre das folgendermaßen: P(X≤a) = $\int\limits_{-\infty}^{a}$ $\frac{1}{σ*\sqrt{2*π}}$*e^{-$\frac{1}{2}$ *($\frac{x-μ}{σ}$)^2} 

wenn du diesen Ausdruck nun zu P(X≥a) umformen willst, musst du die Grenzen entsprechend anders bestimmen. Wie?

Liebe Grüße

Answer 1

Aloha :)

Die $\phi$-Funktion ist die Standard-Normalverteilung mit den Erwartungswert $0$ und der Standardabweichung $1$. Wir haben es hier mit einer normal-verteilten Zufallsvariablen $X$ mit Erwartungswert $\mu_X$ und Standardabweichung $\sigma_X$ zu tun. Du kannst $X$ mit der sogenannten "z-Transformation" in eine Standard-normalverteilte Zufallsvariable $Z$ umrechnen:$$Z\coloneqq\frac{X-\mu_X}{\sigma_X}$$Wenn du kurz darüber nachdenkst, macht das Sinn. Wenn wir den Erwartungswert $\mu_X$ von $X$ abziehen, erhalten wir eine Zufallsvariable mit Erwartungswert $0$. Wenn wir zusätzlich noch durch die Standardabweichung $\sigma_X$ dividieren, normieren wir die Standardabweichung der neuen Zufallsvariablen auf $1$.

Die Funktion $\phi(z)$ gibt nun die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Standard-normalverteilte Zufallsvariable $Z$ einen Wert kleiner als $z$ annimmt:$$\phi(z)=P(Z\le z)$$

Im Folgenden lasse ich den Index $X$ bei $\mu_X$ und $\sigma_X$ weg.

$$\small P(X\ge a)=1-P(X\le a)=1-\phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$$$\small P(|X|\le1)=P(-1\le X\le 1)=P(X\le1)-P(x<-1)=\phi\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right)-\phi\left(\frac{-1-\mu}{\sigma}\right)$$$$\small P(|X-\mu|\ge\varepsilon)=P(X-\mu\ge\varepsilon)+P(X-\mu\le-\varepsilon)=P(X\ge\mu+\varepsilon)+P(X\le\mu-\varepsilon)$$$$\small\phantom{P(|X-\mu|\ge\varepsilon)}=1-P(X\le\mu+\varepsilon)+P(x\le\mu-\varepsilon)$$$$\small\phantom{P(|X-\mu|\ge\varepsilon)}=1-\phi\left(\frac{(\mu+\varepsilon)-\mu}{\sigma}\right)+\phi\left(\frac{(\mu-\varepsilon)-\mu}{\sigma}\right)$$$$\small\phantom{P(|X-\mu|\ge\varepsilon)}=\pink{1-\phi\left(\frac{\varepsilon}{\sigma}\right)}+\phi\left(-\frac{\varepsilon}{\sigma}\right)=\pink{\phi\left(-\frac{\varepsilon}{\sigma}\right)}+\phi\left(-\frac{\varepsilon}{\sigma}\right)=2\phi\left(-\frac{\varepsilon}{\sigma}\right)$$

Bei der letzten Umformung habe ich die Symmetrie $\pink{\phi(z)+\phi(-z)=1}$ der Standard-Normalverteilung ausgenutzt.