Aloha :)
Du kennst die Parameterform der Ebene:E : x=⎝⎛325⎠⎞+r⎝⎛23−1⎠⎞+s⎝⎛131⎠⎞Du sollst nun irgendeine beliebige Gerade g angeben, die auf dieser Ebene senkrecht steht. Wir können diese Gerade also z.B. am Ankerpunkt (3∣2∣5) der Ebene festmachen:g : x=⎝⎛325⎠⎞+t⋅v
Jetzt fehlt uns noch der Richtungsvektor v der Geraden. Dieser Vektor v muss auf den beiden Richtungsvektoren der Ebene senkrecht stehen. Den Vektor v kannst du mit verschiedenen Methoden berechnen.
Methode 1: Vektorprodukt ist bekannt.
Wenn du das Vektorprodukt bereits gelernt hast, kannst du v damit berechnen:v=⎝⎛23−1⎠⎞×⎝⎛131⎠⎞=⎝⎛3⋅1−(−1)⋅3(−1)⋅1−2⋅12⋅3−3⋅1⎠⎞=⎝⎛6−33⎠⎞=3⋅⎝⎛2−11⎠⎞Die Länge des Vektors v ist egal, weil der Parameter t aus der Geradengleichung jede beliebige reelle Zahl sein darf. Uns geht es nur um die Richtung des Vektors, nämlich senkrecht zur Ebene. Es ist daher egal, ob du v=(6;−3;3)T oder v=(2;−1;1)T angibst.
Methode 2: Skalarprodukt ist bekannt.
Wenn du das Vektorprodukt noch nicht kennst, hilft dir das Skalarprodukt weiter. Wenn nämlich 2 Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ist ihr Skalarprodukt =0. Unser Vektor v muss auf beiden Richtungsvektoren der Ebene senkrecht stehen. Das heißt:⎝⎛23−1⎠⎞⋅⎝⎛v1v2v3⎠⎞=0und⎝⎛131⎠⎞⋅⎝⎛v1v2v3⎠⎞=0Die Skalarprodukte kannst du ausrechnen:2v1+3v2−v3=0undv1+3v2+v3=0und umformen:v3=2v1+3v2undv1+3v2+(2v1+3v2)=3v1+6v2=0⟹v1=−2v2Wir setzen die grüne Gleichung in die pinke ein:v3=2⋅(−2v2)+3v2⟹v3=−v2Damit hast du alle möglichen Vektoren v gefunden (nur die Richtung interessiert uns):v=⎝⎛v1v2v3⎠⎞=⎝⎛−2v2v2−v2⎠⎞=(−v2)⋅⎝⎛2−11⎠⎞