Verteilungsfunktion berechnen (und skizzieren)?

Question

Hey, ich versuche gerade $F_z(Z)$ zu berechnen, wobei $Z=XY$. X ist bernoulliverteilt mit $p=\frac{1}{2}$ und Y standardnormalverteilt.

Ich habe bisher folgendes berechnet:

$$ \begin{aligned}F\left( z\right) =P\left( Z\leq z\right) =P\left( XY\leq z\right) =P\left( X\leq \dfrac{z}{y}\right) =\int ^{\infty }_{0}fy\left( y\right) \int ^{\dfrac{z}{y}}_{0}f_{x}\left( x\right) dxdy=\int ^{\infty }_{0}F_{x}\left( \dfrac{z}{y}\right) f_{y}\left( y\right) dy\\ =\dfrac{1}{2}\int ^{\infty }_{0}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{z}{y}\right) ^{2}) dy\\ =\dfrac{1}{2\sqrt{2\pi }}\int ^{\infty }_{0}\exp \left( -\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{z}{y}\right) ^{2}\right) dy\end{aligned}$$

Und dabei für die Dichtefunktion von X $\frac{1}{2}$ verwendet.

Stimmt das? Bzw. seht ihr vielleicht, ob man das och weiter vereinfachen kann. In der Aufgabe wird auch verlangt, dass man $F_z(Z)$ skizzieren soll. Ist das dann einfach ein etwas flacherer Verlauf der Standardnormalverteilung?

VG

Answer 1

Hallo,

Du hast bei Deiner Überlegung die Verteilungen und Dichten durcheinander gebracht. Außerdem wurdest Du bei Deinem Post zu dieser Formel auf das Problem der Stetigkeit der Dichten hingewiesen. X ist eine diskrete Zufallsvariable. Ich gehe davon aus, dass X und Y unabhängig verteilt sind. Dann ist

$$F(z)= P(Z \leq z)= P(XY \leq Z)=\\ \quad P(XY \leq z\mid X=0)P(X=0)+P(XY \leq z\mid X=1)P(X=1)$$

Wir machen eine Fallunterscheidung, \(\Phi\) bezeichne die Verteilungsfunktion der Normalverteilung:

Fall \(z<0\).

$$F(z)=0 \cdot 0.5+\Phi(z)\cdot 0.5$$

Fall \(z \geq 0\)

$$F(z)=1\cdot 0.5+\Phi(z) \cdot 0.5$$

Gruß Mathhilf

Comments

Hey, vielen vielen Dank, dass du mir geholfen hast. Das macht ja wirklich gar keinen Sinn, was ich oben gemacht habe. Die 0.5 in jeden Summanden kommen ja von der Bernoulliverteilung. Könntest du mir viellecht bitte noch sagen, wieso du für die Standardnormalverteilung im Fall X=0 jeweils 0 und 1 eingesetzt hast und für X=1 dann Φ(z)?

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Falls z<0 und X=0, dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(XY \leq z\) unter der Bdingung X=0 gleich 0, weil ja X=0, also XY=0 und daher nicht kleiner als einer negativen Zahl z sein kann. Im Fall \(z \geq 0\) ist es umgekehrt: \(XY=0 \leq z\) ist sicher richtig.

Unter der anderen Bedingung \(X=1\) ist das Ereignis \(XY \leq z\) gleich dem Ereignis \(Y \leq z\), dafür ist die Wahrscheinlichkeit durch die Verteilungsfunktion für Y gegeben.

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Vielen lieben Dank für deine Hilfe!

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Gern geschehen